Question

Os quadriláteros A e B são semelhantes. O lado menor do quadrilátero A mede 4 cm e o lado menor do quadrilátero B mede 6 cm. Determine a razão entre as áreas de A e B. ​

Answer 1

Usando a noção de semelhança entre polígonos, a razão entre as áreas

de A e B é:

$\dfrac{4}{9}$

Quando temos semelhança entre polígonos podemos calcular a razão de

semelhança entre eles em dois aspetos:

• semelhança entre lados
• semelhança entre áreas

Nota → A razão de semelhança é o resultado de uma fração em que se

comparam elementos semelhantes de um polígono:

• comparar lados de igual tipo ( ex: os lados menores )

Para entender como se chega à razão das áreas vou pressupor que os

quadriláteros são dois quadrados.

$Raz\tilde{a}o~~semelhanc_{\!\!,}a~~lado~de~A~e~lado~de~B\\\\=\dfrac{medida~lado~menor~de~pol\acute{i}gono~A}{medida ~lado~menor~de~pol\acute{i}gono~B}\\\\\\=\dfrac{4 ~cm}{6~cm}\\\\\\=\dfrac{4\div2}{6\div}=\dfrac{2}{3}$

Mas quanto ás áreas dos supostos quadrados :

$\acute{A}rea ~de~A~= 4\times4=16~cm^2$

$\acute{A}rea ~de~b~= 6\times6=36~cm^2$

Agora

$Raz\tilde{a}o~semelhanc_{\!\!,}a~ \acute{a}reas\\\\\dfrac{\acute{a}rea~de~A}{\acute{a}rea~de~B}~=\dfrac{16}{36}\\\\\\=\dfrac{16\div4}{36\div4}\\\\\\=\dfrac{4}{9}=~\dfrac{2^2}{3^2}~=~(~\dfrac{2}{3})^2$

O que significa que a razão de semelhança das áreas, de polígonos

( logo apenas duas dimensões) é :

• o quadrado da razão entre lados semelhantes

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Bons estudos.

Att    Duarte Morgado.

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Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.

Answer 2

A razão entre as áreas dos quadriláteros A e B é 4/9.

• Um quadrilátero é um polígono que possui 4 lados como um quadrado, retângulo, trapézio, paralelogramo, losango ou quadrilátero irregular e ainda côncavo ou convexo.
• Para cada um deles a fórmula para o cálculo de área é diferente e portanto a demonstração a seguir é diferente para cada um deles, porém a área é uma grandeza cuja dimensão equivalente ao produto de duas grandezas lineares e se essas grandezas são proporcionais entre si então a área aumentará proporcionalmente. Assim vamos demonstrar considerando que o quadrilátero seja um retângulo.

considere:

a: comprimento do quadrilátero A (cujo lado menor mede 4 cm).

b: comprimento do quadrilátero B (cujo lado menor mede 6 cm).

• Se os quadriláteros são semelhantes, então a razão entre seus lados correspondentes é constante. Escreva essa proporção.

$\large \sf \dfrac{4}{6} = \dfrac{a}{b}$

• Escreva a razão entre as duas áreas lembrando que a área de um retângulo é obtida com o produto de seus lados perpendiculares.

$\large \sf \dfrac{A_A}{A_B} = \dfrac{4a}{6b}$  ⟹ Substitua o valor de a/b.

$\large \sf \dfrac{A_A}{A_B} = \dfrac{4}{6} \cdot \dfrac{4}{6}$  ⟹ Simplifique.

$\fbox {\large \sf \dfrac{A_A}{A_B} = \dfrac{4}{9} }$

A razão entre as áreas dos quadriláteros A e B é 4/9.

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