Question

Os processos de derivação são variados e compreendem as regras do polinômio (do tombo), regra do produto, regra do quociente, derivações trigonométricas, exponenciais, entre outras. Além disso, as derivações também são, comumente, feitas pela regra da cadeia.

Uma vez obtidas, as derivadas são objeto de estudo em processos de otimização, no cálculo vetorial, de gradientes, e ainda nas derivadas direcionais.


Sobre esses conceitos, analise se as alternativas seguintes estão corretas.


I – Sendo f(x,y,z) = x² + y + z e x = ln (t), y = t² e z = t a derivada de f(x,y,z) em relação a “t” é igual a 2.ln(t)+2t+1.

II – Sendo f(x,y) = x + y² e x = u.v, y = v as derivadas de f(x,y) em relação a “u” e a “v” são iguais.

III – f(x,y,z) = x² – y³ – z² tem vetor gradiente ∇f = (2, -12, -6) no ponto P (1,2,3).

IV – A derivada direcional de f(x,y) = xy no ponto P(2,3) e na direção do vetor v = (0,1) é igual a 4.


Elaborado pelo professor, 2018.


Com base no que foi exposto, assinale a alternativa que apresenta as afirmações corretas.
Alternativas
Alternativa 1:
Apenas I.

Alternativa 2:
Apenas II.

Alternativa 3:
Apenas III.

Alternativa 4:
Apenas IV.

Alternativa 5:
Apenas III e IV.

Answer 1

Olá

I) Temos que $f(x,y,z) = x^{2}+y+z$ , sendo que x = ln(t), $y = t^{2}$ e z = t.

Substituindo, temos que $f(t) = (ln(t))^{2} + t^{2}+t$

Derivando essa função, temos que: $f'(t) = \frac{2ln(t)}{t} + 2t + 1$

Portanto, a primeira afirmativa não está correta

Obs.: Lembre-se da regra da cadeia para derivar $(ln(t))^2$

II) Agora temos que $f(x,y) = x + y^{2}$ e sendo x = u.v e y = v, temos que $f(u,v) = uv + v^{2}$

Derivando em relação a u, o v é constante, logo:

$f_{u}(u,v) = v$

Derivando e, relação a v, o u é constante, logo:

$f_{v}(u,v) = u+2v$

Portando, a segunda afirmativa também não está correta

III) Agora temos a função $f(x,y,z) = x^{2}-y^{3}-z^{2}$. Vamos calcular o vetor gradiente no ponto P(1,2,3)

Obs.: o símbolo do vetor gradiente é o triângulo de cabeça para baixo. 

Δ$f(x,y,z) = (f_{x}(x,y,z),f_{y}(x,y,z),f_{z}(x,y,z))$
Δ$f(x,y,z) = (2x,-3y^{2},-2z)$
Δ$f(1,2,3)=(2,-12,-6)$

Portanto, a terceira afirmativa está correta.

IV) Por último, temos que f(x,y)= xy. Vamos calcular a derivada direcional de f no ponto P(2,3) na direção do vetor v=(0,1)

Para isso, vamos calcular $\lim_{t \to \ 0} \frac{f(a + tu_{1}, b + tu_{2}) - f(a,b) }{t}$

Logo, 

$\lim_{t \to \ 0} \frac{f(2,3+t) - f(2,3)}{t} = \lim_{t \to \ 0} \frac{2(3+t)-6}{t} = \lim_{t \to \ 0} \frac{6+2t-6}{t} = 2$

Portanto, a afirmativa também não está correta.

Logo, apenas a III está correta.