Question

os possíveis valores que m deve assumir para que a função f(x)=mx²+(m+1)x+(m+1) admita raizes reais e distintas​

Answer 1

Para que esta função do segundo grau tenha raízes reais e distintas, ela tem que obedecer a condição $\triangle >0$. Ou seja:

$b^2-4.a.c>0$

$(m+1)^2-4.m.(m+1)>0$

$m^2+2m+1-4(m^2+m)>0$

$m^2+2m+1-4m^2-4m>0$

$-3m^2-2m+1>0$

Caímos em uma inequação do segundo grau, esta inequação cumprirá o requisito de ser maior que 0 nos valores que estiverem entre as raízes (pois possui concavidade voltada para baixo no gráfico), vamos descobrir estas raízes:

$\triangle=(-2)^2-4.(-3).1=4+12=16$

$m_1=\frac{2+\sqrt{16} }{2.(-3)}= \frac{2+4}{-6}=\frac{6}{-6}=-1$

$m_2=\frac{2-\sqrt{16} }{2.(-3)}= \frac{2-4}{-6}=\frac{-2}{-6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

Então para que a função descrita admita raízes reais e distintas, a variável "m" deve obedecer o seguinte conjunto solução:

$S=\{m\in R\ |\ -1<m<\frac{1}{3}\ e\ m\neq 0\}$

A condição de $m\neq 0$ é porque o coeficiente "a" não pode ser 0, caso contrário teremos uma função do primeiro grau com apenas uma raiz.