Question

Os pontos médios dos lados do triângulo ABC determinam o triângulo MNP. Sendo A = (2 , 1) , B
= (3, 3) e C = (6, 2), calcule a área do triângulo MNP.

Answer 1

Resposta:

segue resposta e explicação

Explicação passo a passo:

Sejam aos pontos:

                $A = (2, 1)\\B = (3, 3)\\C = (6, 2)$

Primeiramente devemos calcular os pontos médios M, N e P. Para isso, devemos:

$M = (\frac{Xb - Xa}{2} , \frac{Yb - Ya}{2} ) = (\frac{3 - 2}{2} , \frac{3 - 1}{2} ) = (\frac{1}{2} , 1)$

$N = (\frac{Xc - Xb}{2} , \frac{Yc - Yb}{2} ) = (\frac{6 - 3}{2} , \frac{2 - 3}{2} ) = (\frac{3}{2}. \frac{-1}{2} )$

$P = (\frac{Xa - Xc}{2} , \frac{Ya - Yc}{2} ) = (\frac{2 - 6}{2} , \frac{1 - 2}{2} ) = (-2, \frac{-1}{2} )$

Sabendo que a área do triângulo "At" MNP pode ser calculada como "a metade do módulo da determinante da matriz W".

            $At = \frac{|Det(W)|}{2}$

Se a matriz "W" é:

     $W = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} &1&1\\\frac{3}{2} &\frac{-1}{2} &1\\-2&\frac{-1}{2} &1\end{array}\right]$

Calculando o determinante de "W" temos:

$Det(W) = \frac{1}{2} .\frac{-1}{2} .1 + 1.1.(-2) + 1.\frac{3}{2} .\frac{-1}{2} - 1.\frac{3}{2}.1 - \frac{1}{2}.1.\frac{-1}{2} - 1.\frac{-1}{2}.(-2)$

             $= -\frac{1}{4} - 2 - \frac{3}{4} - \frac{3}{2} + \frac{1}{4} - 1$

             $= \frac{-1 - 8 - 3 - 6 + 1 - 4}{4}$

             $= \frac{-21}{4}$

Se "u" e a unidade de área, Então:

     $At = \frac{|Det(W)|}{2} = \frac{|\frac{-21}{4} |}{2} = \frac{\frac{21}{4} }{2} = \frac{21}{4}.\frac{1}{2} = \frac{21}{8} = 2,625u^{2}$