Question

Os pontos M1 (2; -1; 3) M2 (1; -3; 0) e M3 (2; 1; -5) são pontos médios dos lados de um triângulo ABC. Obter as equações paramétricas da reta que contém o lado cujo ponto médio é M1.

Answer 1

As equações paramétricas da reta que contém o lado cujo ponto médio é M1 são:

{x = 3 - 2t

{y = 3 - 8t

{z = -2 + 10t.

Vamos considerar que:

• A = (xa,ya,za)
• B = (xb,yb,zb)
• C = (xc,yc,zc).

Vamos considerar que M1 é o ponto médio de AB, M2 é o ponto médio de BC e M3 é o ponto médio de AC.

Sendo assim, temos que:

2M1 = A + B

2(2,-1,3) = (xa,ya,za) + (xb,yb,zb)

(4,-2,6) = (xa + xb, ya + yb, za + zb).

Logo, temos o sistema:

{xa + xb = 4

{ya + yb = -2

{za + zb = 6.

2M2 = B + C

2(1,-3,0) = (xb,yb,zb) + (xc,yc,zc)

(2,-6,0) = (xb + xc, yb + yc, zb + zc).

Logo, temos o sistema:

{xb + xc = 2

{yb + yc = -6

{zb + zc = 0.

2M3 = A + C

2(2,1,-5) = (xa,ya,za) + (xc,yc,zc)

(4,2,-10) = (xa + xc, ya + yc, za + zc).

Logo, temos o sistema:

{xa + xc = 4

{ya + yc = 2

{za + zc = -10.

De zb + zc = 0, podemos dizer que zc = -zb.

De za + zb = 6, podemos dizer que za = 6 - zb.

Então:

6 - zb - zb = -10

6 - 2zb = -10

2zb = 6 + 10

2zb = 16

zb = 8. Consequentemente, za = -2.

De xa + xb = 4, podemos dizer que xa = 4 - xb.

De xb + xc = 2, podemos dizer que xc = 2 - xb.

Então:

4 - xb + 2 - xb = 4

-2xb + 6 = 4

-2xb = -2

xb = 1. Consequentemente, xa = 3.

De ya + yb = -2, podemos dizer que ya = -2 - yb.

De yb + yc = -6, podemos dizer que yc = -6 - yb.

Então:

-2 - yb - 6 - yb = 2

-8 - 2yb = 2

2yb = -10

yb = -5. Consequentemente, ya = 3.

Assim, temos que A = (3,3,-2) e B = (1,-5,8).

Para montar as paramétricas dessa reta, vamos definir o vetor AB:

AB = (1 - 3, -5 - 3, 8 + 2)

AB = (-2,-8,10).

Portanto, as paramétricas são:

{x = 3 - 2t

{y = 3 - 8t

{z = -2 + 10t.