Question

os pontos M,N,P e Q do R² sao os vertices de um paralelograma situado no primeiro quadrante. se M=(3,5), N=(1,2) e P=(5,1) entao o vertice Q é:

Answer 1

Se traçarmos o gráfico, teremos um triângulo, que é uma metade do paralelogramo. Por meio dele conseguimos encontrar o ponto Q, fazendo simetria com algum ponto. Sabemos que o ponto que nos dará o simétrico é o ponto N.

Resolução:

Ponto médio de MP:

$x_{M} = \frac{3+5}{2} = 4$ e $y_{M} = \frac{5+1}{2} = 3$
O ponto médio de MP é A(4,3).

Afim de verificar se realmente encontramos o valor certo para o simétrico, vamos achar a equação da reta suporte que passa por N, A e Q. Para isso, usamos os pontos N e A.

Declividade da reta:

 $m=\frac{y-y_0}{x-x_0} = \frac{3-2}{4-1} = \frac{1}{3}$

A equação da reta r, achamos considerando o ponto N(1,2):

$y-y_{1}=m(x-x_{1}) \\ y-2= \frac{1}{3}(x-1) \\ 3(y-2) = x-1 \\ 3y-6=x-1 \\ -x+3y-5=0$
O ponto Q, simétrico de N, encontramos calculando o ponto médio de NQ:

$4=\frac{1+x}{2} \to 8= 1+x \to x = 7 \\ 3 = \frac{2+y}{2} \to 6=2+y \to y = 4$

Assim, temos Q(7,4).

Para conferir, substituimos Q em r = -x + 3y - 5

-7 + 3·4 - 5 = 0

Logo, o ponto procurado de fato é Q(7,4).

Answer 2

O vértice Q é (7,4).

Para determinarmos o vértice Q do paralelogramo MNPQ, vamos utilizar a propriedade que diz que as diagonais do paralelogramo cortam-se ao meio.

Ao marcarmos os pontos M = (3,5), N = (1,2) e P = (5,1) no plano cartesiano, podemos observar que as diagonais serão os segmentos MP e NQ.

Vamos considerar que Q = (x,y) e que O é o ponto médio das diagonais.

Assim,

2O = M + P

2O = (3,5) + (5,1)

2O = (3 + 5, 5 + 1)

2O = (8,6)

O = (4,3).

Sendo O = (4,3) o ponto médio das diagonais, então:

2(4,3) = N + Q

(8,6) = (1,2) + (x,y)

(8,6) = (x + 1, y + 2).

Igualando as coordenadas:

x + 1 = 8

x = 7

e

y + 2 = 6

y = 4.

Portanto, o vértice Q é igual a Q = (7,4).

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