Question

os pontos M, N e Q são os pontos médios de cada um dos lados do quadrado ABCD...

Answer 1

O perímetro do quadrado ABCD é:

$P_1=4l$

Por outro lado, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo AMQ tal que MQ é lado do quadrado MNPQ.

$MQ^2 =( \frac{l}{2} )^2+( \frac{l}{2} )^2= \frac{l^2}{2} \\ MQ= \frac{l \sqrt{2} }{2}$

Então, o perímetro do quadrado MNPQ é:

$P_2=4. \frac{l \sqrt{2} }{2} \\ P_2=2l \sqrt{2}$

Como $l= \frac{P_1}{4}$, substituímos na segunda relação:

$P_2=2.\frac{P_1}{4}.\sqrt{2} \\ P_2= \frac{P_1 \sqrt{2} }{2}$

c.q.d.