Question

Os pontos A e B, extremos da popa e proa, respectivamente, de um veleiro de 12m de comprimento sao presos ao topo D do mastro vertical CD por cabos esticados.Dado que os angulos DAC e BDC medem 45°e30°, respctivamente, calcule: a)a altura do mastro;b)a medida do cabo AD.

Answer 1

                     D




A                  C          B
se ∠DAC = 45° ⇒∠ADC = 45° ⇒ ΔACD isósceles
então AC = CD
seja "x" a medida de tanto de AC como de CD
observando o Δ BCD ⇒ retângulo  de ângulos 30° 60° 90°
BC = 12 - x  (vale a metade hipotenusa BD) ou BD = 2(12 -x)
aplicando Pitágoras no Δ BCD
(12 - x)² + x² = [2(12 - x)]²
144 - 24x + x² + x² = 4(144 - 24x + x²)
144 + 24x + 2x² = 576 - 96x + 4x²
2x² - 72x + 432 = 0
x²- 36x + 216 = 0
x = _36 +- √[36² - 4(1)(216)]_
                   2(1)
x = _36 +- √432_
             2
x = _36 +- 12√3_
             2
x = 12(3 +- √3)
               2
x = 6(3 +- √3)
x' = 6(3 + √3) ≈  28,3923 ⇒ (NÃO serve porque resulta maior que o barco!!)
x'' = 6(3 - √3)
calculando cabo AD
AD² = x² + x²
AD² = 2x²
AD = √2x
AD = √2[6( 3 - √3)]
AD =  √2(18 - 6√3)
AD = 18√2 - 6√6
AD = 6√2(3 - √3)
Resposta: altura do mastro:6(3 - √3)m e cabo AD = 6√2(3 - √3)m