Question

Os pontos A(-4, m), B(2,-5) e C(6,m) são os vértices de um triângulo. Calcule os valores de m sabendo que a área desse triângulo é 60.​

Answer 1

Criamos a seguinte matriz com os três pontos:

$\left[\begin{array}{ccc}-4&m&1\\2&-5&1\\6&m&1\end{array}\right]$

Calculamos o determinante da matriz acima:

$det=[(-4.(-5).1)+(m.1.6)+(1.2.m)]-[(1.(-5).6)+(m.2.1)+(-4.1.m)]$

$det=[20+6m+2m]-[-30+2m-4m]$

$det=20+6m+2m+30-2m+4m$

$det=10m+50$

A área deste triângulo é dada pela metade do módulo do determinante acima. Sabendo que esta área vale 60 estabelecemos a seguinte relação:

$\frac{|10m+50|}{2}=60$

$|10m+50|=60.2$

$|10m+50|=120$

Resolvemos a versão positiva do módulo para encontrar o primeiro valor possível para $m$:

$10m_1+50=120$

$10m_1=120-50$

$10m_1=70$

$m_1=\frac{70}{10}$

$m_1=7$

Resolvemos a versão negativa do módulo para encontrar o segundo valor possível para $m$:

$-10m_2-50=120$

$10m_2+50=-120$

$10m_2=-120-50$

$10m_2=-170$

$m_2=-\frac{170}{10}$

$m_2=-17$

Finalmente concluímos que a variável $m$ assume o seguinte conjunto solução:

$S=\{-17,\ 7\}$