Question

os pontos a (4,7), b (1,-1) e c (x,-10) pertencem a uma mesma reta. determine o valor de x.
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Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{x=-\dfrac{19}{8}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, utilizaremos matrizes.

Sejam os pontos $(x_1,~y_1),~(x_2,~y_2)$ e $(x_3,~y_3)$. De acordo com a condição de alinhamento de três pontos, eles são colineares se o determinante da matriz formada pelas coordenadas destes pontos da seguinte maneira for igual a zero:

$\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\\\end{vmatrix}=0$

Então, temos os pontos $A~(4,~7),~B~(1,~-1)$ e $C~(x,~-10)$. Devemos determinar o valor de $y$, dado que estes pontos são colineares.

Para isso, devemos resolver o seguinte determinante:

$\begin{vmatrix}4&7&1\\1&-1&1\\x&-10&1\\\end{vmatrix}=0$

Para resolvermos o determinante, utilizamos a Regra de Sarrus. Consiste em replicarmos as duas primeiras colunas à direita do determinante e calcularmos a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, temos:

$\left|\begin{matrix}4&7&1\\1&-1&1\\x&-10&1\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}4&7\\1&-1\\x&-10\end{matrix}\right.=0$

Aplique a regra de Sarrus:

$4\cdot(-1)\cdot1+7\cdot1\cdot x+1\cdot1\cdot(-10)-(7\cdot1\cdot1+4\cdot1\cdot(-10)+1\cdot(-1)\cdot x)=0$

Multiplique os valores

$-4+7x-10-(7-40-x)=0$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$-4+7x-10-7+40+x=0$

Some os termos semelhantes

$8x+19=0$

Subtraia $19$ em ambos os lados da equação

$8x=-19$

Divida ambos os lados da equação por $8$

$x=-\dfrac{19}{8}$

Este é o valor de $x$ que satisfaz esta condição.

Veja a imagem em anexo: os pontos foram localizados no plano cartesiano e existe uma única reta que contém estes pontos.