Question

Os pontos A(4,6) e B(9,7) formam com a origem um triângulo de área igual a:

a)12 b)10 c)13 d)15 e) 14

Answer 1

(1) Tomemos como base deste triângulo o segmento $\overline{AB}$. A medida desta base é a distância entre os pontos $A\left(4,\,6 \right )$ e $B\left(9,\,7 \right )$:

$\mathrm{med}\left(\overline{AB} \right )=\sqrt{\left(x_{_{B}}-x_{_{A}} \right )^{2}+\left(y_{_{B}}-y_{_{A}} \right )^{2}}\\ \\ \mathrm{med}\left(\overline{AB} \right )=\sqrt{\left(9-4 \right )^{2}+\left(7-6 \right )^{2}}\\ \\ \mathrm{med}\left(\overline{AB} \right )=\sqrt{\left(5 \right )^{2}+\left(1 \right )^{2}}\\ \\ \mathrm{med}\left(\overline{AB} \right )=\sqrt{25+1}\\ \\ \boxed{\mathrm{med}\left(\overline{AB} \right )=\sqrt{26} \text{ u.c.}}$


(2) Descobrir a equação geral da reta suporte do segmento $\overline{AB}$ (escrita na forma $ax+by+c=0$):

O coeficiente angular $m$ da reta suporte do segmento $\overline{AB}$ é

$m=\dfrac{y_{_{B}}-y_{_{A}}}{x_{_{B}}-x_{_{A}}}\\ \\ m=\dfrac{7-6}{9-4}\\ \\ \boxed{m=\dfrac{1}{5}}$


A equação da reta que passa por um ponto $A\left(x_{_{A}},\,y_{_{A}} \right )$ e possui coeficiente angular $m$ é:

$y-y_{_{A}}=m\cdot \left(x-x_{_{A}} \right )\\ \\ y-6=\dfrac{1}{5}\cdot \left(x-4 \right )\\ \\ 5\cdot \left(y-6 \right )=x-4\\ \\ 5y-30=x-4\\ \\ x-5y-4+30=0\\ \\ \boxed{x-5y+26=0}\\ \\ \\ a=1,\;\;\;b=-5,\;\;\;c=26$


(3) A altura $h$ deste triângulo será a distância da origem $O\left(0,\,0\right)$ à reta suporte do segmento $\overline{AB}$. Utilizando a fórmula da distância de ponto $\left(x_{0},\,y_{0} \right )$ à reta de equação geral $ax+by+c=0$, temos

$h=\dfrac{\left|ax_{0}+by_{0}+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$


Substituindo as coordenadas da origem e os coeficientes da reta suporte de $\overline{AB}$ na fórmula acima, temos

$h=\dfrac{\left|1\cdot 0-5\cdot 0+26\right|}{\sqrt{1^{2}+\left(-5 \right )^{2}}}\\ \\ h=\dfrac{\left|26\right|}{\sqrt{1+25}}\\ \\ h=\dfrac{26}{\sqrt{26}}\\ \\ \boxed{h=\sqrt{26} \text{ u.c.}}$


(4) A área $S$ do triângulo é dada por

$S=\dfrac{\text{base} \times \text{altura}}{2}\\ \\ S=\dfrac{\mathrm{med}\left(\overline{AB} \right ) \times h}{2}\\ \\ S=\dfrac{\sqrt{26} \times \sqrt{26}}{2}\\ \\ S=\dfrac{26}{2}\\ \\ \boxed{S=13 \text{ u.a.}}$


Resposta: alternativa $\text{c) }13$.

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo: simples

A (4,6); B(9,7) e C(0,0)

S = 1/2 |[ 4 9 0 4 ]|

6 7 0 6

S = 1/2 | (4×7) + (9×0) + (0×6) - (9×6) - (0×7) - (4×0)

S = 1/2 | 28+0+0-54-0-0|

S = 1/2 |-26|

S = 1/2×26 = 26/2 = 13