Question

Os Pontos A (3M+1, 15) e B (m,3) tem distância igual a 13. Calcule quem é m?

Answer 1

Olá.

Para descobrirmos, usaremos o Teorema de Pitágoras.
Antes, devemos estar ciente de uma propriedade de Produtos notáveis, o Quadrado da diferença de dois termos:
$\boxed{\mathsf{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}}$

$\mathsf{d^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\\\ \mathsf{13^2=[m-(3m+1)]^2+(3-15)^2}\\\\ \mathsf{169=(m-3m-1)^2+(-12)^2}\\\\ \mathsf{169=(-2m-1)^2+144}\\\\ \mathsf{169=(-2m-1)^2+144}\\\\ \mathsf{169=[(-2m^2)-2\cdot(-2m)+(1)^2]+144}\\\\ \mathsf{169=[4m^2+4m+1]+144}\\\\ \mathsf{169=4m^2+4m+1+144}\\\\ \mathsf{-4m^2-4m-1-144+169=0}\\\\ \mathsf{-4m^2-4m-145+169=0}\\\\ \mathsf{-4m^2-4m+24=0\cdot(-1)}\\\\ \mathsf{4m^2+4m-24=0}$

Foi gerada uma equação de 2° grau, logo, devemos resolvê-la como tal.
$\left\{\begin{array}{cc}\mathsf{a=}&\mathsf{4}\\\mathsf{b=}&\mathsf{4}\\\mathsf{c=}&\mathsf{-24}\\\end{array}\right\\\\\\ \mathsf{m=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}}\\\\\\ \mathsf{m=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot4\cdot(-24)}}{2\cdot4}}\\\\\\ \mathsf{m=\dfrac{-4\pm\sqrt{16-16\cdot(-24)}}{8}}\\\\\\ \mathsf{m=\dfrac{-4\pm\sqrt{16+384}}{8}}\\\\\\ \mathsf{m=\dfrac{-4\pm\sqrt{400}}{8}}\\\\\\ \mathsf{m=\dfrac{-4\pm20}{8}}$

Vamos agora descobrir os dois valores possíveis para m.
$\mathsf{m'=\dfrac{-4+20}{8}}\\\\\\ \mathsf{m'=\dfrac{16}{8}}\\\\ \boxed{\mathsf{m'=2}}\\\\\\ \mathsf{m''=\dfrac{-4-20}{8}}\\\\\\ \mathsf{m''=\dfrac{-24}{8}}\\\\ \boxed{\mathsf{m''=-3}}\\\\\\ \boxed{\mathsf{S=\{-3,~2\}}}$

Os dois valores possíveis são -3 e 2. Vamos testar?
$\mathsf{m:~~~169=(-2m-1)^2+144}\\\\\\ \mathsf{m^1:~~169=(-2(-3)-1)^2+144}\\\\ \mathsf{m^1:~~169=(6-1)^2+144}\\\\ \mathsf{m^1:~~169=(5)^2+144}\\\\ \mathsf{m^1:~~169=25+144}\\\\ \mathsf{m^1:~~169=169~~\boxed{\textbf{Correto}}}\\\\\\ \mathsf{m^2:~~169=(-2(2)-1)^2+144}\\\\ \mathsf{m^2:~~169=(-4-1)^2+144}\\\\ \mathsf{m^2:~~169=(-5)^2+144}\\\\ \mathsf{m^2:~~169=25+144}\\\\ \mathsf{m^2:~~169=169~~\boxed{\textbf{Correto}}}$

Assim, descobrimos e testamos que m pode ser -3 e 2.

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.
Bons estudos.