Question

Os pontos A(3m+1,15) e B (m,3) pertensem ao 2º quadrante e a distancia entre eles é igual a 13. Qual é o valor de m?

Answer 1

Distância entre dois pontos:

 

$dAB=\sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)^2}$

 

Substituindo:

 

$13=\sqrt{(m-3m-1)^2+(3-15)^2}$

 

$13=\sqrt{(m-3m-1)^2+144}$

 

$169=(m-3m-1)^2+144$

 

$(-2m-1)^2-25=0$

 

$4m^2+4m+1-25=0$

 

$4m^2+4m-24=0$

 

Resolvendo Bhaskara:

 

$m=2$

 

$m'=-3$

 

Como o exercício fala que está no 2º quadrante então o eixo "x" é negativo, logo:

 

$\boxed{m=-3}$

Answer 2

Segue a fórmula da distância entre dois pontos a ser utilizada no exercício: $d_{a,b} = \sqrt{(x_{a} - x_{b}) ^{2}+(y_{a} - y_{b}) ^{2}}$.

Incorporando as informações dadas no enunciado à fórmula transcrita acima, temos:

$d_{a,b} = \sqrt{(3m + 1 - m) ^{2}+(15 -3) ^{2}}\\d_{a,b} = \sqrt{(2m+1) ^{2}+(-12) ^{2}}\\d_{a,b} = \sqrt{4m^{2} + 4m + 1 +144}$

Já sabemos que $d_{a,b}$ = 13. Então, podemos estabelecer a seguinte igualdade:

$13 = \sqrt{4m^{2} + 4m + 1 +144}$

Para neutralizar o radical no segundo membro, podemos elevar ambos os membros ao quadrado.

$13^{2} = (\sqrt{4m^{2} + 4m + 145})^{2}\\169 = 4m^{2} + 4m + 145\\4m^{2} + 4m - 24$

Temos, agora, uma equação de segundo grau a ser resolvida pela Fórmula de Bháskara.

Δ = b² - 4 . a . c

Δ = 4² - 4 . 4 . (-24)

Δ = 16 - 16 . (-24)

Δ = 16 + 384

Δ = 400

$\frac{-4+\sqrt{400} }{8} = \frac{-4+20}{8} = \frac{16}{8} = 2\\ \frac{-4-\sqrt{400} }{8} = \frac{-4-20}{8} = \frac{-24}{8} = -3$

Como é certo que os pontos A e B pertencem ao 2º quadrante, o valor de x deverá ser negativo.

Então, m = -3.

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Espero ter ajudado, um abraço! :)