Matemática, perguntado por caixetamateus11, 9 meses atrás

os pontos A(3,4) e B(1,-2) s]ao equidistantes de P(0,y). Determine y

Soluções para a tarefa

Respondido por Nefertitii
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Se dois pontos são equidistantes, quer dizer que eles possuem a mesma distância, ou seja, no nosso caso o ponto A é equidistante a P e B também é equidistante de P, logo a distância de A para P é a mesma distância de B para P, podemos escrever isso como:

  \orange\bigstar  \:  \: \sf D_{A,P }= D_{B,P}  \:  \:  \orange\bigstar

Com essa relação que montamos, matamos a questão, pois basta calcular a distância de A para P e a distância de B para P e no final igualar essas duas distâncias.

  • Distância (A,P):

Para calcular essa distância, usaremos a fórmula da distância entre dois pontos, dada por:

\sf D_{A,P} = \sqrt{(x_p-x_a)^{2} + (y_p-y_ a)^{2}}

Vamos identificar os valores de Xp, Xa, Yp e Ya:

  \begin{cases} \sf A(3,4) \rightarrow x_a = 3 \:  \:  \:  \: y_a = 4 \\  \sf P(0,y  ) \rightarrow \sf x_p = 0 \:  \:  \:  \:  \: y_p = y \end{cases}

Substituindo os dados:

\sf D_{A,P} = \sqrt{(x_p-x_a)^{2} + (y_p-y_ a)^{2}}   \\  \sf  D_{A,P} =  \sqrt{(0 - 3) {}^{2}  + (y - 4) {}^{2} }  \\  \sf  D_{A,P} =  \sqrt{( - 3) {}^{2} + ( y - 4).(y - 4)  }  \\  \sf  D_{A,P} = \sqrt{9 + y.y  - 4y - 4y + 4.4 }   \\  \sf  D_{A,P} =  \sqrt{y {}^{2} - 8y + 25 }

  • Distância (B,P):

Do mesmo jeito vamos usar a mesma fórmula:

\sf D_{B,P} = \sqrt{(x_p-x_b)^{2} + (y_p-y_ b)^{2}}

Identificando os valores:

  \begin{cases} \sf B(1,-2) \rightarrow x_b = 1\:  \:  \:  \: y_b =  - 2 \\  \sf P(0,y  ) \rightarrow \sf x_p = 0 \:  \:  \:  \:  \: y_p = y \end{cases}

Substituindo:

 \sf \sf D_{B,P} = \sqrt{(x_p-x_b)^{2} + (y_p-y_b)^{2}} \\  \sf D_{B,P} =  \sqrt{(0 - 1) {}^{2}  + (y - ( - 2)) {}^{2} }  \\  \sf D_{B,P} =  \sqrt{( - 1) {}^{2}  + (y + 2) {}^{2} }  \\  \sf D_{B,P} =  \sqrt{1 + (y + 2).(y + 2)}  \\  \sf D_{B,P} =  \sqrt{1 + y.y + 2.y + 2.y + 2.2}  \\  \sf D_{B,P} =  \sqrt{y {}^{2} + 4y + 5 }

Agora como eu disse no começo, devemos igualar esses dois valores:

 \sf d_{A,P }= d_{B,P} \\    \sf\sqrt{y {}^{2} - 8y + 25 }  = \sqrt{y {}^{2} + 4y + 5 }

Para sumir com essas raízes, devemos elevar ambos os membros ao quadrado:

  \sf  \cancel{y {}^{2}}  - 8y + 25 = \cancel{ y {}^{2}}  + 4y + 5 \\  \sf 4y + 8y = 25 - 5 \\  \sf 12y = 20 \\  \sf y =  \frac{20}{12}  \\  \sf y =  \frac{5}{3}

Espero ter ajudado

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