Question

Os pontos A(3, 4, 1) B(2, 1, 1) e C(3, 0, 4) formam um triangulo isósceles . Determine a área deste triângulo.

Answer 1

√390/4

Explicação passo-a-passo:

Através dos lados de um triangulo podemos achar sua área, mas pra acharmos sua base e sua altura, precisamos antes das distâncias entre cada ponto(seus lados).

a distância entre pontos é igual a raiz da somas das diferenças entre as cordenadas, ou seja

d= raiz de ((x'-x'')^2+(y'-y")^2+(z'-z")^2)

primeiro vamos calcular a distancia entre A e B

raiz de ((3-2)^2+(4-1)^2+(1-1)^2)

raiz de (1^2+3^2+0)

raiz de (1+9)

√10

agora a distancia entre B e C

raiz de ((2-3)^2+(1-0)^2+(1-4)^2)

raiz de (1^2+1^2+3^2)

(Ja que um número sendo positivo ou negativo quando elevado ao quadrado da o mesmo resultado que se o sinal fosse oposto coloquei todos como positivos, afim de facilitar o entendimento)

raiz de (1^2+1^2+3^2)

raiz de (1+1+9)

√10

agora a distância entre A e C

raiz de ((3-3)^2+(1-0)^2+(1-4)^2)

raiz de (0+1^2+3^2)

raiz de (1+9)

√10

Agora o problema se tornou simples temos um triangulo com dois lados iguais a √10 e uma base igual a √11, para acharmos a altura iremos dividir o triângulo em dois triângulos retângulos e fazer pitagoras, então temos:

Altura^2 + Metade da base do triangulo^2 = Lado^2

h^2 + (√11/2)^2 = √10^2

h^2 = 10 - (11/4)

h^2 = (40-11)/4

h^2 = 39/4

h = √39/2

Agora temos a base que é √11 e a altura √39/2

para acharmos a área só temos que multiplicar ambos e dividir o resultado por 2

Área = (√10 . √39/2)/2

Área = (√390/2)/2

Área = √390/4

(Caso vc esteja se perguntando se dá para melhorar a raiz, infelizmente não dá.)

CHEGANDO POR FIM NO VALOR √390/4 PARA A ÁREA.