Question

Os pontos A = (3,-1) e B = (1,-4) são extremidades do diâmetro de uma circunferência. escreva a equação geral e reduzida da circunferência

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Henrique, que a resolução é simples.
Pede-se para escrever a equação geral e reduzida de uma circunferência cujo diâmetro tem suas extremidades nos pontos A(3; -1) e B(1; -4).

Veja que se encontramos o ponto médio do segmento AB (que é o diâmetro), iremos encontrar exatamente o centro da circunferência da sua questão. Assim, fazendo isso, teremos, chamando o ponto médio de C(x; y). Assim, teremos:

i) Calculando o ponto médio C do segmento A(3; -1) e B(1; -4). Assim:

C[(3+1)/2; (-1+(-4))/2]
C[(4/2; (-1+4)/2]
C[(2; (3)/2]
C(2; 3/2)  <---- Este é o centro da circunferência da sua questão.

ii) Agora veja: como já temos que o centro da circunferência da sua questão é C(2; 3/2), então vamos calcular qual é a medida do raio (r) dessa circunferência.
Para isso, basta que calculemos a distância (d), que será igual ao raio (r), entre o Centro C(2/ 3/2) a uma das extremidades do diâmentro.
Então vamos encontrar a medida da distância entre os pontos:
A(3; -1) e C(2; 3/2). Assim, fazendo isso, teremos:

r² = (2-3)² + (3/2-(-1))²
r² = (-1)² + (3/2+1)² ------ veja que 3/2 + 1 = 5/2. Assim:
r² = (-1)² + (5/2)²
r² = 1 + 25/4 ----- mmc = 4. Assim, utilizando-o apenas no 2º membro, temos;
r² = (4*1+1*25)/4
r² = (4+25)/4
r² = (29)/4 --- ou apenas:
r² = 29/4  <--- Esta é a medida do raio ao quadrado.

Se você quiser apenas o raio, então, a partir da relação acima, temos:

r = +-√(29/4) ---- veja que isto é a mesma coisa que:
r = +-√(29)/√(4) ------- como √(4) = 2, teremos;
r = +-√(29)/2 ---- mas como o raio nunca é negativo, então teremos que;
r = √(29)/2  <--- Esta é a medida do raio da circunferência da sua questão

iii) Como já temos o centro C(2; 3/2) e temos o raio = √(29)/2 , vamos encontrar logo a equação reduzida da circunferência da sua questão.

Antes veja que uma circunferência que tem:

 centro em C(x₀; y₀) e tem raio = r , terá a sua equação reduzida encontrada da seguinte forma:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = r²      . (I)

Tendo, portanto, a relalão (I) acima como parâmetro, então a circunferência da sua questão, que tem centro em C(2; 3/2) e tem r² = 29/4 (raio ao quadrado igual a 29/4, como já vimos antes) , terá a sua equação reduzida encontrada da seguinte forma:

(x-2)² + (y-3/2)² = 29/4  <--- Esta é a equação reduzida da circunferência da sua questão.

Agora vamos encontrar qual é a equação geral. Para isso, basta que, a partir da equação reduzida acima, desenvolvamos os quadrados indicados. Assim:

(x-2)² + (y-3/2)² = 29/4 ---- desenvolvendo os quadrados, teremos:
x²-4x+4 + y²-6y/2+9/4 = 29/4 ---- ou:
x²-4x+4 + y²-3y + 9/4 = 29/4 ---- ordenando, teremos:
x² + y² - 4x - 3y + 4 + 9/4 ---- passando "29/4" para o 1º membro, temos:
x² + y² - 4x - 3y + 4 + 9/4 - 29/4 = 0 

Agora note que:

4+9/4+29/4 = (4*4+1*9+1*29)/4 = (16+9-29)/4 = (25-29)/4 = -4/4 = - 1. Assim, substituindo-se 4+9/4-29/4 por apenas "-1", iremos ficar da seguinte forma:

x² + y² - 4x - 3y - 1 = 0 <--- Esta é a equação geral da circunferência da sua questão.

Assim, resumindo, temos que a equação geral e a equação reduzida da sua questão são estas

equação geral: x² + y² - 4x - 3y - 1 = 0
equação reduzida: (x-2)² + (y-3/2)² = 29/4

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.