Question

Os pontos A(2a – 1, b – 5) e B(3a + 8, - 4b + 3) pertencem, respectivamente, às bissetrizes dos quadrantes ímpares e pares. Pode-se concluir que a + b é igual a: *
-1
2
-2
0
1

Answer 1

Através dos cálculos feitos, chegamos a conclusão que a soma de $\sf a + b$ resulta em $\sf 1$, Alternativa e).

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Explicação:

Temos os seguintes pontos:

$A(2a - 1, \: b - 5) \: \: e \: \: B(3a + 8, \: - 4b + 3)$

Para prosseguirmos com esta questão, vamos primeiro relembrar o que é bissetriz.

• Bissetriz: é uma reta que possui a propriedade de dividir um ângulo em duas partes iguais.

Como o próprio nome diz, a bissetriz dos quadrantes ímpares e pares é uma reta que divide os ângulos dos quatro quadrantes ao meio. Cada quadrante possui uma variação de 90° até chegar ao outro.

$\begin{cases}1 {}^{o} \: quadrante \: \to \: 0 {}^{o} \leqslant \theta \leqslant 90 {}^{o} \: \: \: \: \: \: \: \\ 2 {}^{o } \: quadrante \: \to \: 90 {}^{o} \leqslant \theta \leqslant 180 {}^{o} \: \: \\ 3 {}^{o } \: quadrante \: \to \: 180 {}^{o} \leqslant \theta \leqslant 270 {}^{o} \\ 4 {}^{o } \: quadrante \: \to \: 270 {}^{o} \leqslant \theta \leqslant 360 {}^{o}\end{cases}$

Ou seja, esta reta ao passar pelo 1°, 2°, 3° e 4° divide o ângulo de 90° que é característico de cada um deles em dois ângulos de 45°.

Desenhando uma reta infinita que passe simetricamente pelos quadrantes ímpares e outra que passe pelos quadrantes pares e gere dois ângulos de 45° graus, podemos ver que ambas passam pela origem (0,0). Outra informação que podemos retirar, é que o coeficiente angular de uma reta por ser dado por:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: m = \tg( \theta)$

• Para a reta bissetriz dos quadrantes ímpares, temos que o ângulo formado com o eixo x é 45°, então:

$\: \: \: \: \: m = \tg(45 {}^{o} ) \: \to \: m = 1$

• Já para a reta dos quadrantes pares temos que a tangente é negativa, uma vez que de acordo com o círculo trigonométrico, a tangente só é positiva no primeiro e terceiro quadrante. Portanto:

$\: \: \: m = - \tg(45 {}^{o} ) \: \to \: m = - 1$

Sabendo pelos menos um ponto em que estas retas passam e o coeficiente angular de ambas, podemos encontrar a equação de cada uma utilizando a equação fundamental da reta, dada por:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: y - y_{o} = m.(x - x_{o})$

Substituindo os dados na relação:

$y - 0 = 1.(x - 0) \: \: \to \: \: \underbrace{y = x}_{bissetriz \: \acute{i}mpar}\\y - 0 = -1.(x - 0) \: \: \to \: \: \underbrace{y =- x}_{bissetriz \:par}$

Portanto esta é a lei de formação de ambas as retas bissetrizes.

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Com a equação da reta bissetriz sendo conhecida, podemos fazer a substituição dos pontos na mesma, pois:

$A( \underbrace{2a - 1}_{x}, \: \underbrace{b - 5}_{y}) \: \: e \: \: B( \underbrace{3a+ 8}_{x}, \underbrace{ - 4b + 3 }_{y})$

Substituição dos dados do ponto A que é referente aos quadrantes ímpares, ou seja, a reta que devemos usar é aquela expressa por y = x.

$y = x \: \: \to \: \: \begin{cases} b - 5 = 2a - 1\\ b = 2a - 1 + 5 \\ b = 2a + 4 \end{cases}$

Substituição dos dados do ponto B que é referente aos quadrantes pares, e utiliza-se da reta y = -x.

$y = - x \: \: \to \: \: \begin{cases} - 4b + 3= - (3a + 8 )\\ - 4b + 3 = - 3a - 8 \\ 4b = 11 + 3a \\ b = \frac{ 11 + 3a}{ 4} \end{cases}$

Geramos um sistema de duas incógnitas, sabemos o valor de b e uma expressão que depende dele, portanto:

$2a + 4 = \frac{11 + 3a}{4} \: \to \: 11 + 3a= 8a + 16 \\ \\ 8a - 3a =11 - 16 \: \: \to \: \: \boxed{a = - 1}$

Sabendo o valor de (a), podemos encontrar (b) fazendo uma simples substituição em uma das expressões montadas no sistema.

$b = 2a + 4 \: \to \: b = 2. \left( - 1 \right) + 4 \: \to \: \boxed{b = 2 }$

Para finalizar a questão, basta apenas fazer a soma destas duas variáveis (a e b).

$\: \: \:\:\: \: \: \: a + b \: \: \to \: \: - 1 + 2 \: \: \to \: \boxed{1}$

Espero ter ajudado

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