Question

OS Pontos A(1,-2,-3), B(2,-1,4), C(0,2,0) E D(-1,6,1) são os vértices de um tetraedro ABCD. Podemos afirmar que a altura h relativa ao vértice D, em cm, é aproximadamente:

A) 0,59 cm
B) 0,48 cm
C) 0,73 cm
D) 0,67 cm
E) 0,18 cm

Answer 1

Boa noite 

seja os pontos A(1, -2, -3) , B(2, -1, 4) , C(0, 2, 0) , D(-1, 6, 1) 

AB = (2 - 1, -1 - (-2), 4 - (-3)) = (1, 1, 7) 
AC = (0 - 1, 2 - (-2), 0 - (-3)) = (-1, 4, 3) 
AD = (-1-1, 6 - (-2), 1 - (-3)) = (-2, 8, 4) 

produto vetorial AB∧AC

  i    j   k   i   j
 1   1  7   1  1
-1   4  3  -1  4

AB∧AC = 3i - 7j + 4k + k - 28i - 3j = -25i - 10j + 5k = (-25, -10, 5)

|| AB∧AC || = √[(-25)² + (-10)² + (5)²] = 5√30 

produto vetorial  AC∧AD 

  i    j   k   i   j
-1   4  3  -1  4  
-2,  8, 4, -2, 8

AC∧AD = 16i - 6j - 8k  + 8k - 24i + 4j = -8i - 2j + 0k = (-8, -2, 0) 

|| AC∧AD || = √[(-8)² + (-2)² + (0)²] = 2√17

Volume de ABCD 

V = (1/6) *  | AB.(AC∧AD) | 
V = (1/6) * (1, 1, 7) * (-8, -2, 0) 
V = (1/6) * |-8 - 2 + 0| 
V = 10/3 

Área da face formada por AB e AC:

A = (1/2).|| AB∧AC || = 5√30/2 

V = (1/3) * A *Hd 

10/3 = (1/3) * 5√30/2 * Hd

altura relativa ao vertice D

20 = 5√30 * Hd 

Hd = 4√30/30 = 0.73 cm (C)