Matemática, perguntado por jonesivan250, 8 meses atrás

Os pontos (3; 2) ; (3; -2) ; (-1; -2) são vértices de um quadrado. Quais são as coordenadas do quarto vértice desse quadrado?

Soluções para a tarefa

Respondido por Usuário anônimo

Explicação passo-a-passo:

Sejam $\sf A(3,2),~B(3,-2),~C(-1,-2)~e~D(x_D,y_D)$ os vértices desse quadrado

As diagonais de um quadrado interceptam-se no centro do quadrado. Esse centro é o ponto das diagonais

As coordenadas do ponto médio são dadas por:

• $\sf x_M=\dfrac{x_A+x_C}{2}$

• $\sf y_M=\dfrac{y_A+y_C}{2}$

Temos;

• $\sf x_M=\dfrac{x_A+x_C}{2}$

$\sf x_M=\dfrac{3-1}{2}$

$\sf x_M=\dfrac{2}{2}$

$\sf \red{x_M=1}$

• $\sf y_M=\dfrac{y_A+y_C}{2}$

$\sf y_M=\dfrac{2-2}{2}$

$\sf y_M=\dfrac{0}{2}$

$\sf \red{y_M=0}$

O centro do quadrado é o ponto M(1, 0)

Como M(1, 0) também é ponto médio da diagonal BD, então:

• $\sf x_M=\dfrac{x_B+x_D}{2}$

$\sf 1=\dfrac{3+x_D}{2}$

$\sf 3+x_D=2\cdot1$

$\sf 3+x_D=2$

$\sf x_D=2-3$

$\sf \red{x_D=-1}$

• $\sf y_M=\dfrac{y_B+y_D}{2}$

$\sf 0=\dfrac{-2+y_D}{2}$

$\sf -2+y_D=2\cdot0$

$\sf -2+y_D=0$

$\sf \red{y_D=2}$

Logo, D(-1, 2).

O quarto vértice é o ponto (-1, 2)

Anexos:

jonesivan250: vlw cara

Respondido por solkarped

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que o vértice procurado do quadrado de vértices "A(3, 2)", "B(3, -2)" e "C(-1, -2)" é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf D(-1, 2)\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os vértices do plano cartesiano:

$\Large\begin{cases} A = (3, 2)\\B = (3, -2)\\C = (-1, -2)\end{cases}$

Observe que existem algumas formas para se resolver esta questão. Uma delas é utilizando números complexos associado com vetores.

Para resolver esta questão utilizando números complexos e vetores devemos converter os pontos cartesianos para afixos do plano de Argand Gauss. Para isso, fazemos:

$\Large\begin{cases} A = 3 + 2i\\B = 3 - 2i\\ C = -1 - 2i\end{cases}$

Agora, devemos prestar atenção que nos foi dado três de seus vértices. Já que o polígono é um quadrado, e nos foi dado três de seus vértices, então podemos rotacionar 90° o lado AB no sentido anti-horário para encontrar o outro vértice.

Deste modo, fazemos:

$\Large \text {$\begin{aligned}\overrightarrow{AD} & = \overrightarrow{AB}\cdot(\cos(-\theta) + i\cdot\sin(-\theta))\end{aligned} $}$

Como os lados do quadrado se cruzam perpendicularmente, então o ângulo de rotação é de -90°. Então, temos:

$\Large \text {$\begin{aligned}\overrightarrow{AD} & = \overrightarrow{AB}\cdot(\cos(-90^{\circ}) + i\cdot sin(-90^{\circ}))\\D - A & = (B - A)\cdot(\cos(-90^{\circ}) + i\cdot \sin(-90^{\circ})) \\D & = (B - A)\cdot(\cos(-90^{\circ}) + i\cdot \sin(-90^{\circ})) + A\\D & =\left[(3 - 2i) - (3 + 2i)\right]\cdot(0 - i) + (3 + 2i) \\D & = \left[-4i\right]\cdot(-i) + 3 + 2i\\D & = 4i^{2} + 3 + 2i\\D & = 4\cdot(-1) + 3 + 2i\\D & = -4 + 3 + 2i\\D & = -1 + 2i\end{aligned} $}$