Matemática, perguntado por micaelcordeiro2311, 5 meses atrás

Os pontos (1,3),(2,7)e(4,k) do plano cartesiano estão alinhados se é somente se:

Soluções para a tarefa

Respondido por n3okyshi

Resposta:

$k=15$

Explicação passo a passo:

Bora lá, esses pontos vão estar alinhados se eles fizerem parte da mesma reta, mas pra saber qual deve ser o valor de $k$ precisamos antes saber qual é a reta que contém os pontos $(1,3)$ e $(2,7)$

Para saber qual a equação da reta que passa por 2 pontos existem varias maneiras. Uma delas é usar

$(y-y_0)=\frac{\Delta y}{\Delta x} \times (x-x_0)$

tais que $y_0$ é a abicissa e um dos pontos e $x_0$ é a ordenada do mesmo ponto, $\Delta y$ é a variação (a diferença) entre os valores de abicissa entre os dois pontos e $\Delta x$ é a variaçã (a diferença) entre os valores de ordena entre os dois pontos

Então pegando o ponto $(1,3)$ pra fazer as substituições ficamos com

$(y-3)=\frac{3-7}{1-2} \times (x-1)$

note que fizemos $3-7$ no numerador e $1-2$ no denominador, então a gente manteve a ordem dos pontos na hora de escrever

simplificando a expressão ficamos com

$y-3=4(x-1)$

$y-3=4x-4\\y=4x-4+3\\y=4x-1$

Então a equação da reta que passa por $(1,3)$ e $(2,7)$ é $y=4x-1$

Agora, para o ponto $(4,k)$ estar também nessa reta, qual deve ser o valor de $k$ , ou seja, o valor de $y$ quando $x=4$ ? Bem, é só substituir na nossa equação da reta

$y=4x-1\\y=4\times4-1\\y=16-1\\y=15$

Então o ponto $(4,15)$ esta alinhado com os pontos $(1,3)$ e $(2,7)$ , ou seja $k=15$

Qualquer dúvida chama noix

Respondido por solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o valor do parâmetro "k" de modo que os referidos pontos sejam colineares, ou seja, pertençam a uma mesma reta é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf k = 15\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os pontos:

$\Large\begin{cases} A(1, 3)\\B(2, 7)\\C(4, k)\end{cases}$

Os referidos pontos do plano cartesiano estão alinhados se, e somente se, os mesmos forem colineares, isto é, pertecem a mesma reta. Para que isso ocorra, o determinate da matriz "M" seja igual a "0".

Sendo a matriz "M":

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}M =\begin{bmatrix} 1 & 3 & 1\\2 & 7 & 1\\4 & k & 1 \end{bmatrix}\end{gathered}$}$

Então, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \det M = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\begin{vmatrix}1 & 3 & 1\\2 & 7 & 1\\4 & k & 1 \end{vmatrix} = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\begin{vmatrix}1 & 3 & 1\\2 & 7 & 1\\4 & k & 1 \end{vmatrix}\begin{matrix}1 & 3\\2 & 7\\4 & k \end{matrix} = 0\end{gathered}$}$

$\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 1\cdot7\cdot1 + 3\cdot1\cdot4 + 1\cdot2\cdot k - 3\cdot2\cdot 1 - 1\cdot1\cdot k - 1\cdot7\cdot4= 0\end{gathered}$}$