Question

Os polinómios podem ser, evidentemente, multiplicados por constantes, somados, subtraídos e multiplicados, e os resultados serão novamente polinómios. No entanto, se dividirmos polinómios nem sempre obteremos outro polinómio. Esse quociente é chamado função racional, isto é, uma função racional f(x) é do tipo f(x) = n(x) / d(x), onde n(x) e d(x) são polinómios com d(x) diferente de zero. Seja f a função racional abaixo:

$f(x) = \dfrac{x-3}{x^2-9}$
.
Sobre essa função, analise e julgue cada um dos seguintes itens.

I. A função f não está definida para x = 3.
II. O valor do limite da f(x), quando x tende a 3, é 1/6.
III. A derivada de f no ponto x = 4 é 3.
IV. O valor da integral definida no intervalo de [5, 10] da f(x), com relação a x, é ln 2.

É correto o que se afirma em:

Alternativa 1:
I e II apenas.

Alternativa 2:
II e III apenas.

Alternativa 3:
I, II e III apenas.

Alternativa 4:
II, III e IV apenas.

Alternativa 5:
I, II, III e IV.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

I. A função f não está definida para x = 3.

=> Verdadeiro.

$\sf f(x)=\dfrac{x-3}{x^2-9}$

Devemos ter:

$\sf x^2-9 \ne 0$

$\sf x^2 \ne 9$

$\sf \red{x\ne 3}~e~x \ne -3$

II. O valor do limite da f(x), quando x tende a 3, é 1/6.

=> Verdadeiro.

$\sf \lim_{x\to~3}=\dfrac{x-3}{x^2-9}$

$\sf \lim_{x\to~3}=\dfrac{x-3}{(x-3)\cdot(x+3)}$

$\sf \lim_{x\to~3}=\dfrac{1}{x+3}$

$\sf \lim_{x\to~3}=\dfrac{1}{3+3}$

$\sf \red{\lim_{x\to~3}=\dfrac{1}{6}}$

III. A derivada de f no ponto x = 4 é 3.

=> Falso.

$\sf f(x)=\dfrac{x-3}{x^2-9}$

$\sf f'(x)=\dfrac{(x-3)'\cdot(x^2-9)-(x^2-9)'\cdot(x-3)}{(x^2-9)^2}$

$\sf f'(x)=\dfrac{1\cdot(x^2-9)-2x\cdot(x-3)}{(x^2-9)}$

$\sf f'(x)=\dfrac{x^2-9-2x^2+6x}{(x^2-9)^2}$

$\sf f'(x)=\dfrac{-x^2+6x-9}{(x^2-9)^2}$

$\sf f'(x)=\dfrac{-(x-3)^2}{(x-3)^2\cdot(x+3)^2}$

$\sf f'(x)=\dfrac{-1}{(x+3)^2}$

=> Para x = 4:

$\sf f'(4)=\dfrac{-1}{(4+3)^2}$

$\sf f'(4)=\dfrac{-1}{7^2}$

$\sf \red{f'(4)=\dfrac{-1}{49}}$

IV. O valor da integral definida no intervalo de [5, 10] da f(x), com relação a x, é ln 2.

=> Falso.

$\sf f(x)=\dfrac{x-3}{(x-3)\cdot(x+3)}$

$\sf f(x)=\dfrac{1}{x+3}$

$\sf \displaystyle\int~\sf \dfrac{1}{x+3}=ln~|~x+3~|$

$\sf \displaystyle\int_{\sf 5}^{\sf 10}=\sf ln~|~10+3~|-ln~|~5+3~|$

$\sf \displaystyle\int_{\sf 5}^{\sf 10}=\sf ln~|~13~|-ln~|~8~|$

$\sf \displaystyle\int_{\sf 5}^{\sf 10}=\sf ln~13-ln~8$

$\sf \red{\displaystyle\int_{\sf 5}^{\sf 10}=\sf ln~\Big(\dfrac{13}{8}\Big)}\ne ln~2$

Alternativa 1: I e II apenas.