Question

Os polinômios p1(x)=x²-4 e p2(x)=x²-7x+10 dividem o polinômio p(x)=ax³+bx²-12x+c em que a, b e c são números reais. Determine a, b e c.

Answer 1

Os polinômios p1(x)=x²-4 e p2(x)=x²-7x+10 dividem o polinômio p(x)=ax³+bx²-12x+c em que a, b e c são números reais. Determine a, b e c.
P1(x)

P1(x) = x² - 4    ( igualar a ZERO)

X² - 4 = 0   (produto notavél)
x² - 4 = 0   ( achar as RAIZES)
x² = + 4
x = + - √4    ( lembrando que: √4 = 2)
x = + - 2

assim
x' = - 2
x" = + 2

P(x) = ax³ + bx² - 12x + c
para 
x = - 2
P(-2) = a(-2)³ + b(-2)² - 12(-2) + c
P(-2) = a(- 2x2x2) + b(+2x2) + 24 + c
P(-2) = a(-8) + b(4) + 24 + c
P(-2) = - 8a + 4b + 24 + c   arrumando a casa
P(-2) = - 8a + 4b + c + 24

para
x = + 2
P(2) = a(2)² + b(2)² - 12(2) + c
P(2) = a(8) + b(4) - 24 + c
P(2) = 8a + 4b - 24 + c   arrumado a casa
P(2) = 8a + 4b + c - 24

outro P2(x)
P2(x) = x² - 7x + 10   IGUALAR A zero)
x² - 7x + 10 = 0  ( faotrar)
x² = x.x
- 7x = - 2 - 5
10 = (-2)(-5)

assim
x² - 7x + 10 = 0
(x - 2)(x - 5) = 0   ( achar as raizes)
(x - 2) = 0
x - 2 = 0
x = + 2

(x - 5) = 0
x - 5 = -
x = + 5

assim
x' = 2
x " = 5

para
x = 2     (ACIMA) IDEM

x = 5

P(x) = ax³ + bx² - 12x + c
P(5) = a(5)³ + b(5)² - 12(5) + c
P(5) = a(125) + b(25) - 60 + c
P(5) = 125a + 25b - 60 + c   ( arruma a casa)
P(5) = 125a + 25b + c - 60

JUNTANDO
P(-2) = - 8a + 4b + c + 24
P(2) = 8a + 4b + c - 24
P(5) = 125a + 25b + c - 60

IGUALAR todos em ZERO

    - 8a + 4b + c + 24 = 0       (1º)
     8a  + 4b + c - 24 = 0        (2º)
125a + 25b + c - 60 = 0        (3º)

FAZER  (1º) com (2º)

   - 8a + 4b + c + 24 = 0      
     8a  + 4b + c - 24 = 0   (SOMAR)
------------------------------------------------
      0   + 8b  + 2c  0  = 0

8b + 2c = 0    ( isolar o (c))
2c = - 8b 
c = - 8b/2
c = - 4b     ( substituir o (c))

JUNTAR (1º)  com (3º)


     - 8a + 4b + c + 24 = 0       (1º)  
  125a + 25b + c - 60 = 0        (3º)


atenção!!!!!!
(125 : 8 = 15,625)

     -8a + 4b + c + 24 = 0    (multiplica)15,625 
- 125a + 62,5b +15,625 c + 375 = 0

junta
 
  - 125a + 62,5b + 15,625c + 375= 0
    125a  +25b     +           c  -   60 = 0 SOMA
---------------------------------------------------------
       0     + 87,5b + 16,625c + 315 = 0


87,5b + 16,625c + 315 = 0    ( SUBSTITUI o valor de (c))

87,5b + 16,625(-4b) + 315 = 0
87,50b -  66,5b + 315 = 0
21b + 315 = 0
21b = - 315
b = - 315/21
b = - 15      

ACHAR o valor de (c))

c = - 4b
c = - 4(-15)
c = + 60

ACHAR o valor de (a))  PODE pegar UM dos TRÊS (inicio)

b = -15
c = 60
     8a  + 4b + c - 24 = 0        (2º)  
8a + 4(-15) + 60 - 24 = 0
8a  - 60      + 60 - 24 = 0
8a             0        - 24 = 0

8a - 24 = 0
8a = + 24
a = 24/8
a = 3

assim
a = 3
b = - 15
c = 60