Question

Os polinômios P(x)  px2 + qx – 4 e Q(x)  x2 + px + q são tais que P(x+1) = Q(2x) para todo x real. O Valor de p + q é:

Answer 1

Seja P(x) = px² + qx - 4 e Q(x) = x² + px + q.

Primeiramente, vamos calcular P(x + 1):

P(x + 1) = p(x + 1)² + q(x + 1) - 4

P(x + 1) = p(x² + 2x + 1) + qx + q - 4

P(x + 1) = px² + 2px + p + qx + q - 4

Agrupando os termos semelhantes:

P(x + 1) = px² + x(2p + q) + (p + q - 4)

Da mesma forma, vamos calcular o valor de Q(2x):

Q(2x) = (2x)² + p(2x) + q

Q(2x) = 4x² + 2px + q

Como P(x + 1) = Q(2x), então:

px² + x(2p + q) + (p + q - 4) = 4x² + 2px + q

Comparando as duas equações, podemos concluir que:

p = 4

2p + q = 2p ∴ q = 0

Portanto, p + q = 4 + 0 = 4.