Os ornitologistas determinaram que algumas espécies de pássaros tendem a evitar voos sobre largas extensões de água
durante o dia. Acredita-se que é necessária mais energia para voar sobre a água que a terra, pois o ar em geral sobe
sobre a terra e desce sobre a água durante o dia. Um pássaro com essas tendências é solto de uma ilha que está a
5 km do ponto mais próximo B sobre uma praia reta, voa para um ponto C na praia e então voa ao longo da praia
para a área D, seu ninho. Suponha que o pássaro instintivamente escolha um caminho que vai minimizar seu gasto de
energia. Os pontos B e D distam 13 km um do outro.
Em geral, se é preciso 1,4 vezes mais energia para voar sobre a água do que sobre a terra, para que ponto C o
pássaro precisa voar para minimizar a energia total gasta no retorno ao ninho?
Soluções para a tarefa
O ponto C é 5,103 aproximadamente.
Antes de tudo, escrevemos a distância BD em função de x, como x = BC e (13-x) = CD.
O primeiro d é sobre a água:
d² = 5² + x²
d = √(25+x²) [Deslocamento sobre a água, vezes 1,4]
d= 1,4.√(25+x²)
O outro d é sobre a terra,
d = 13-x
Somando os dois "d", teremos a energia em função do "x".
E(x) = 1,4.√(25+x²) + (13-x)
Para encontrar a menor energia, em função do x, devemos encontrar o ponto mínimo: derivando:
E'(x) = 1,4.x/√(25+x²) - 1
Igualando a 0.
0 = 1,4.x/√(25+x²) - 1
1 = 1,4.x/√(25+x²)
√(25+x²) = 1,4.x [eleve ao quadrado]
25+x² = (1,4.x)²
25+x² = 1,96.x²
25 = 0,96.x²
x = +/- 5,103 aproximadamente.
Como se trata de uma função quadrática com a > 0, então a primeira raiz (-5,103) é um ponto de máximo e a outra (5,103) é um ponto de mínimo. Já que escrevemos a distância BD em função de x, como x = BC e (13-x) = CD, logo:
BC = 5,103 é o ponto C