Question

os números x + 5, 2x e 2x + 15 são os lados de um triângulo e formam,nessa ordem, uma PG. Determine o perímetro desse triângulo.(responde aí galera por favor) :(

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Se $\sf (a_1,a_2,a_3)$ é uma $\sf PG$, então:

$\sf (a_2)^2=a_1\cdot a_3$

$\sf PG(x+5,2x,2x+15)$

$\sf (2x)^2=(x+5)\cdot(2x+15)$

$\sf 4x^2=2x^2+15x+10x+75$

$\sf 4x^2-2x^2-15x-10x-75=0$

$\sf 2x^2-25x-75=0$

$\sf \Delta=(-25)^2-4\cdot2\cdot(-75)$

$\sf \Delta=625+600$

$\sf \Delta=1225$

$\sf x=\dfrac{-(-25)\pm\sqrt{1225}}{2\cdot2}=\dfrac{25\pm35}{4}$

$\sf x'=\dfrac{25+35}{4}~\rightarrow~x'=\dfrac{60}{4}~\rightarrow~x'=15$

$\sf x"=\dfrac{25-35}{4}~\rightarrow~x"=\dfrac{-10}{4}~\rightarrow~x"=\dfrac{-5}{2}$ (não serve)

Os lados desse triângulo medem:

• $\sf x+5=15+5$

$\sf x+5=20$

• $\sf 2x=2\cdot15$

$\sf 2x=30$

• $\sf 2x+15=2\cdot15+15$

$\sf 2x+15=30+15$

$\sf 2x+15=45$

O perímetro desse triângulo é:

$\sf P=20+30+45$

$\sf P=95$

Answer 2

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{2p=95}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão de progressão geométrica, devemos relembrar alguns detalhes.

A razão $q$ é calculada como um valor constante entre a divisão entre dois termos subsequentes. Logo, se temos uma sequência $a_1,~a_2,~a_3,~\cdots$, podemos calcular o valor de $q$ como $\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{a_3}{a_2}\cdots$

A partir disso, descobrimos que o produto dos extremos equidistantes de um termo é igual ao quadrado deste termo. Para casos em que a sequência apresenta um número par de termos, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Apliquemos esta propriedade discutida acima no problema:

$(x+5)\cdot(2x+15)=(2x)^2$

Multiplique os valores e calcule a potência

$2x^2 + 15x + 10x +75=4x^2$

Subtraia $4x^2$ em ambos os lados, a fim de igualar a equação a zero.

$2x^2+15x+10x+75-4x^2=0$

Some os termos semelhantes

$-2x^2+25x+75=0$

Para resolver esta equação quadrática, podemos utilizar a fórmula de Bháskara.

Dada uma equação quadrática de coeficientes reais da forma $ax^2+bx+c=0$, sua solução é descrita pela fórmula

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$

Substitua os valores que temos na equação

$x=\dfrac{-25\pm\sqrt{25^2-4\cdot (-2)\cdot 75}}{2\cdot (-2)}$

Multiplique os valores e calcule as potências

$x=\dfrac{-25\pm\sqrt{625+600}}{-4}$

Some os valores e simplifique a raiz

$x=\dfrac{-25\pm\sqrt{1225}}{-4}\\\\\\ x=\dfrac{-25\pm35}{-4}$

Separe as soluções

$x_1=\dfrac{-25+35}{-4}~~~~~~x_2=\dfrac{-25-35}{4}$

Calcule as somas

$x_1=-\dfrac{5}{2}~~~~~~ x_2=15$

Como se trata de um polígono, não consideramos a solução negativa.

Logo, a medida de $x$ é 15.

Como a questão busca o perímetro do triângulo, devemos somar o valor de seus lados.

Logo considerando os lados $x+5,~2x~e~2x+15$

Seu perímetro será  $2p=5x+20$

Lembre-se que usamos $2p$ para perímetro pois ele equivale ao dobro do semiperímetro, dado por $p$.

Substitua o valor de $x$

$2p=5\cdot15+20$

Multiplique e some os valores

$2p=95$

Este é o perímetro do triângulo.