Question

os números x + 5 ,2x e 2x + 15 são os lados de um triângulo e formam,nessa ordem, uma PG. Determine o perímetro desse triângulo.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Se $\sf (a_1,a_2,a_3)$ é uma $\sf PG$, então:

$\sf (a_2)^2=a_1\cdot a_3$

$\sf PG(x+5,2x,2x+15)$

$\sf (2x)^2=(x+5)\cdot(2x+15)$

$\sf 4x^2=2x^2+15x+10x+75$

$\sf 4x^2-2x^2-15x-10x-75=0$

$\sf 2x^2-25x-75=0$

$\sf \Delta=(-25)^2-4\cdot2\cdot(-75)$

$\sf \Delta=625+600$

$\sf \Delta=1225$

$\sf x=\dfrac{-(-25)\pm\sqrt{1225}}{2\cdot2}=\dfrac{25\pm35}{4}$

$\sf x'=\dfrac{25+35}{4}~\rightarrow~x'=\dfrac{60}{4}~\rightarrow~x'=15$

$\sf x"=\dfrac{25-35}{4}~\rightarrow~x"=\dfrac{-10}{4}~\rightarrow~x"=\dfrac{-5}{2}$ (não serve)

Os lados desse triângulo medem:

• $\sf x+5=15+5$

$\sf x+5=20$

• $\sf 2x=2\cdot15$

$\sf 2x=30$

• $\sf 2x+15=2\cdot15+15$

$\sf 2x+15=30+15$

$\sf 2x+15=45$

O perímetro desse triângulo é:

$\sf P=20+30+45$

$\sf P=95$

Answer 2

Numa PG sabemos que a razao vale:

Q = An ÷ An-1

Entao podemos dizer que

Q = A2 ÷ A1

e

Q = A3 ÷ A2

Em toda a PG a razao é sempre a mesma - nao muda -, logo

         Q = Q

A2 ÷ A1 = A3 ÷ A2        aplicando regra dos meios

$\large{\frac{A2}{A1}=\frac{A3}{A2}\Rightarrow A2\cdot A2=A1\cdot A3}$

De acordo com o enunciado:

A1 = X + 5

A2 = 2X

A3 = 2X + 15

entao

A2 · A2 = A1 · A3

2X · 2X = (X + 5) · (2X + 15)   desenvolvendo chegamos em

2X² - 25X - 75 = 0

resolvendo essa equacao do 2º chegamos em:

X' = 15 e X'' = - 5/2

X nao pode ser negativo, pois os lados de um triangulo sao números naturais (ℕ), logo X = 15

Reescrevendo a PG

PG = (A1; A2; A3)

PG = (X + 5; 2X; 2X + 15)

PG = (15 + 5; 2·15; 2·15 + 15)

PG = (20; 30; 45)

O perímetro dum triangulo é a soma de todos os seus lado. Aplicando no nosso problema:

P = L1 + L2 + L3

P = 20 + 30 + 45

P = 95u.c.

A area deste triangulo será aproximadamente 239u.a.