Question

Os números x - 3, x + 1 e 7x-3 formam, nessa ordem, uma progressão geométrica. Qual o valor inteiro de x?

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se o valor inteiro de "x", sabendo-se que a sequência abaixo é uma PG:

(x-3; x+1; 7x-3)

Veja: se a sequência acima é uma PG, então a razão (q) é constante e é encontrada pela divisão de cada termo consequente pelo seu respectivo antecedente. Assim, para que a sequência dada seja uma PG, deveremos ter isto:

(7x-3)/(x+1) = (x+1)/(x-3) ----- multiplicando em cruz, teremos:
(x-3)*(7x-3) = (x+1)*(x+1) ---- desenvolvendo, teremos:
7x² - 24x + 9 = x² + 2x + 1 ----- passando todo o 2º membro para o 1º, teremos:

7x² - 24x + 9 - x² - 2x - 1 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
6x² - 26x + 8 = 0 ---- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "2", com o que ficaremos assim:

3x² - 13x + 4 = 0 ----- aplicando Bháskara, você vai encontrar as seguintes raízes:

x' = 1/3
x'' = 4

Como é pedido apenas o valor INTEIRO de "x", então descartaremos a raiz igual a "1/3" e ficaremos apenas com a outra raiz, que é:

x = 4 <---- Esta é a resposta. Este é o valor INTEIRO de "x".


Bem, a resposta já está dada. Agora, só por curiosidade, vamos ver qual será essa PG, quando substituirmos o "x" por "4" em (x-3; x+1; 7x-3).
Assim, substituindo "x" por "4", teremos:

(4-3; 4+1; 7*4-3) = (1; 5; 28-3) = (1; 5; 25) <--- Pronto. A PG será esta (com razão igual a 5, pois 25/5 = 5/1 = 5).


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.