Question

Os números reais x' e x" são as raízes reais da equação 2x²-7x+6=0, nessas condições , sem determinar as raízes, calcule o valor de:
a)x'+x"/2

b)1/x' + 1/x"

Answer 1

Resposta:

a) ( x' + x" ) / 2 = 7 / 4

b) 1/x' + 1/x" = 7 / 6

Explicação passo-a-passo:

Pedido:

Os números reais x' e x" são as raízes reais da equação 2x²-7 x + 6 = 0. Nessas condições , sem determinar as raízes, calcule o valor de:

a) ( x' + x" ) / 2                     b) 1/x' + 1/x"

Resolução:

a) ( x' + x" ) / 2

As equações do 2º grau

a x² + b x + c = 0

podem ser apresentadas da seguinte maneira:

a x² + S x + P = 0

S = soma das raízes = ( x' + x'' )         e   S = - b/a

P = produto das raízes = ( x' * x'' )      e   P = c / a

No caso deste exercício temos a equação:

2x²- 7 x + 6 = 0

a = 2

b= -7

c = 6

S = - b/a ⇒  S = (- ( - 7 )) /2 = 7/2

P = c / a ⇒ P = 6 / 2

Logo  S = 7 / 2

Mas queremos ( x' + x" ) / 2

a) ( x' + x'' )/2 = S/2 = ( 7/2 ) /2

= (7 / 2 ) / 2 = ( 7/2 ) / ( 2 / 1 ) = (7 * 1 ) / (2 * 2) = 7/4

( x' + x'' ) / 2 = 7/4

b) 1/x' + 1/x''

Temos uma soma de frações com denominadores diferentes.

Para poder fazer a soma, os denominadores têm que ser iguais ( regra

fundamental para soma de frações com denominadores)

1/x' + 1/x''

Vamos multiplicar por x'' o numerador e o denominador da primeira fração.

Vamos multiplicar por x' o numerador e o denominador da segunda fração.

(1 * x'' ) / ( x' * x'' ) + ( 1 * x' ) / ( x' * x'' )

Somam-se os numeradores, mantendo os denominadores (que são iguais).

= ( x' + x'' ) / ( x' * x'' )

Donde 1/x' + 1/x'' = ( x' + x'' ) / ( x' * x'' )

Mas reparem bem nesta fração.

Ela é a soma das raízes a dividir pelo produto das raízes

Que já conhecemos das fórmulas mostradas no início.

( x' + x'' ) = 7/2  

e

( x' * x'' ) = 6/2  

Então ( x' + x'' ) / ( x' * x'' ) = (7/2) / (6/2)

Pela regra do sandwich fica ( 7 * 2) / ( 2 * 6 ),

Os " 2 " do numerador e o " 2 " do denominador cancelam-se.

Logo resultado final é 7 / 6.

1/x' + 1/x" = 7 / 6

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Sinais: ( * ) multiplicar    ( / )  dividir    

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Qualquer dúvida me contacte pelos comentários desta pergunta.  

Procuro resolver com detalhe elevado para que quem vai aprender a  

resolução a possa compreender otimamente bem.