Question

os numeros reais positivos 'x' e 'y' sao tais que x2+y2=21 e (x-y)2=9.nessas condiçoes ,determine o valor de 16 ,onde 'p' e o produto das possiveis soluçoes da expressao (1+1)(1-1)
.................(x+y)(x-y).

Answer 1

Através da substituição de uma equação na outra equação, podemos obter que

$x=\sqrt{\dfrac{756}{37}}$ e $y= 6\times\sqrt{\dfrac{37}{756}}$

Sejam dois números $x$ é $y$ e sejam também as equações $x^2+y^2=21$ é $(x-y) ^2=9$

Podemos expandir a equação $(x-y) ^2=9$ obtendo $(x-y) ^2=x^2-2xy+y^2=9$

Repare que $x^2-2xy+y^2=(x^2+y^2)-2xy=9$

O que fizemos aqui foi apenas reagrupar e colocar dentro de parenteses.

Sabemos também que $x^2+y^2=21$

Portanto podemos efetuar a seguinte substituição

$(x^2+y^2)-2xy=9\\21-2xy=9$

Observe agora que na equação resultante, com exceção do termo $2xy$, o restante são números.

Podemos então rearranjar a equação da seguinte forma:

$21-2xy=9\\\\\\2xy=21-9$

Temos assim que $xy=\dfrac{21-9}{2}=\dfrac{12}{2}=6$

Ou seja,

$xy=6$

Podemos então escrever y em função de x e substituir na equação $x^2+y^2=21$

$y=\dfrac{x}{6}$

$x^2+\dfrac{x^2}{36}=21$

Vamos multiplicar o primeiro termo do primeiro membro por 36 e dividir por 36 (é o mesmo que multiplicar por 1)

$\dfrac{36}{36}x^2+\dfrac{x^2}{36}=21\\\dfrac{36+1}{36}x^2=21\\37x^2=21\times36\\x^2=\dfrac{36\times21}{37}$

Assim obtemos que $\x=\sqrt{\dfrac{756}{37}}$

Como $x\times y=6$, teremos que

$y=\dfrac{6}{x}=6\times\sqrt{\dfrac{37}{756}}$