Question

os números positivo A e B são tais que (a, b, 10) é uma pa de razão r e (2/3, a, b) é uma pg de razão q. calcule o valor de q/r​

Answer 1

Resposta:

$\frac{q}{r} = \frac{3}{4}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, tudo bem?

Vamos nos lembrar como funciona uma PA:

$a_{1}$ = a

$a_{2}$ = b

$a_{3}$ = 10

Em uma PA, a cada novo termo, somamos um valor r chamado razão, portanto, ficará assim:

$a_{1}$ = a

$a_{2}$ = a + r

$10$ = a + r + r

Reescrevendo isso:

a = a

b = a + r

$10$ = a + 2r

Agora, Vamos nos lembrar como funciona uma PG:

$a_{1}$ = 2/3

$a_{2}$ = a

$a_{3}$ = b

Em uma PG, a cada novo termo, multiplicamos um valor q chamado razão, portanto, ficará assim:

$a_{1}$ = $\frac{2}{3}$

$a_{2}$ = $\frac{2}{3} .q$

$a_{3}$ = $\frac{2}{3} .q . q$

Reescrevendo isso:

$a_{1}$ = $\frac{2}{3}$

a =  $\frac{2}{3} .q$

b = $\frac{2}{3} .q . q$

Agora, podemos montar algumas equações:

a = $\frac{2}{3} .q$

q = $\frac{a}{\frac{2}{3} }$

q = $\frac{3a}{2}$

Calculando o valor de b na PA utilizando a seguinte fórmula:

$a_{2} = \frac{a_{1} + a_{3}}{2}$

$b = \frac{{a} + 10}{2}$

Substituindo estas informações na fórmula de PG:

q = $\frac{3a}{2}$

$b = \frac{{a} + 10}{2}$

b = $\frac{2}{3} . q . q$

$\frac{{a} + 10}{2}$ = $\frac{2}{3}$ .  $\frac{3a}{2}$.  $\frac{3a}{2}$

$\frac{{a} + 10}{2}$  =   $\frac{18a^{2} }{12}$

$\frac{{a} + 10}{2}$  =   $\frac{3a^{2} }{2}$

2 ( a + 10) = 2 (3$a^{2}$)

a + 10 = 3$a^{2}$

3$a^{2}$ - a - 10 = 0

Resolvendo por Bhaskara:

$x = \frac{-b+\sqrt{b^{2} -4 . a . c} }{2a}$

$x = \frac{-(-1)+\sqrt{(-1)^{2} -4 . 3 . (-10)} }{2.3}$

$x = \frac{1+\sqrt{1^{2} +120} }{6}$

$x = \frac{1+\sqrt{121} }{6}$

$x = \frac{1+\ 11 }{6}$

$x = \frac{12 }{6}$

$x = 2$

Portanto a = 2

Como sabemos o valor de a, podemos colocar na seguinte formula de PA:

$10$ = a + r + r

Substituindo: a por 2:

$10$ = 2 + r + r

10 - 2 = 2r

8 = 2r

r = 8/2

r = 4

Calculando o valor de "b" da PA:

b = a + r

b = 2 + 4

b = 6

Então a PA fica assim:

(a, b, 10)

( 2, 6, 10)

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Vamos para PG agora:

(2/3, 2, 6)

Calculando q:

$q = \frac{a_{n} }{a_{n-1}}$

$q = \frac{6}{2}$

$q = 3$

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Calculando o valor de q/r

$\frac{q}{r} = \frac{3}{4}$