Question

Os numeros naturais m e n, quando divididos por 11, deixam restos 2 e 5, respectivamente. Logo, o resto da divisão de 5m + 2n por 11 é

Answer 1

Olá, Dafny.

Se m dividido por 11 tem resto 2, então m = 11α + 2, α ∈ N.
Se n dividido por 11 tem resto 5, então n = 11β + 5, β ∈ N.

5m + 2n = 5(11α + 2) + 2(11β + 5) = 55α + 10 + 22β + 10 = 55α + 22β + 20 ⇒

(55α + 22β + 20) ÷ 11 = 5α + 2β + $\frac{20}{11}$

5α + 2β é um número inteiro.

Resta-nos apenas, portanto, a análise da divisão não exata 20÷11.
20÷11 é igual a um, com resto 9.

O resto da divisão de 5m + 2n por 11 é, portanto, igual a 9.