Os números naturais 48,54 e N têm a seguinte propriedade: o produto de quaisquer dois desses números é um múltiplo do outro número. Qual é o menor valor possível para N?
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Veja, Admslayer, que a resolução não é das mais simples.
Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se o MENOR valor do número natural "n" para que os números "48", "54" e "n" tenham a seguinte propriedade: "o produto de quaisquer dois desses números é SEMPRE um múltiplo do outro número".
Ou seja, a propriedade acima diz o seguinte: se multiplicarmos 48*54 o resultado deverá ser múltiplo de "n"; se multiplicarmos 48*n o resultado deverá ser múltiplo de "54"; e se multiplicarmos 54*n o resultado deverá ser múltiplo de "48".
ii) Então a primeira coisa a fazer será encontrar o MMC (Mínimo Múltiplo Comum) dos números "48" e "54". Calculando teremos:
48, 54 | 2
24, 27 | 2
.12, 27 | 2
..6, 27 | 2
..3, 27 | 3
...1, ..9 | 3
...1, ..3 | 3
...1, ...1 |
Como se vê aí em cima, temos que:
MMC(48, 54) = 2⁴ * 3³ = 16 * 27 = 432.
iii) A propósito, note que: o número "n", na sequência dada, deverá ser maior que "54", pois lembre-se que a sequência é esta: "48", "54" e "n".
Então, em princípio, esse número "n" poderia ser "432", o que já estaríamos atendendo ao fato de o número "n" ser maior que "54". Ocorre é que é pedido o MENOR número "n" que faça com que esses três números guardem a propriedade descrita acima. Então note isto: se você dividir "432" por um produto de dois fatores primos dos dois números "48" e "54" o MMC guarda as mesmas características originais, ou seja, continua "observando" as propriedades que devem ter os números "48", "54" e "n". Note que, na fatoração dos números "48" e "54" vimos que há os fatores primos "2" e "3". Então se dividirmos o MMC (432) pela "associação" de fatores primos de cada número, como: "2*3 = 6", iremos encontrar um número "72", pois 432/6 = 72. E note que "72" é maior que o número "54", o que também atende à sequência dada: "48", "54" e "n", pois aí teríamos que a sequência seria esta: "48", "54" e "72" <--- Veja que o número "n" é maior que "54", que é o que queríamos. Qualquer outra forma de "associação" entre fatores primos para encontrarmos um número "n" nessas condições ou iria dar menor que "54" ou iria dar um número maior que "72" e o que queremos é o MENOR número possível para "n", contanto que a propriedade descrita antes seja preservada.
iv) Assim, o MENOR número que deverá ser o número "n" será:
n = 72 <--- Esta é a resposta.
Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, vamos ver se isso é verdade mesmo. Vamos multiplicar cada um dos números pelo outro e vamos ver se a propriedade descrita antes é mantida (ou seja, vamos ver se o produto de quaisquer dois números SEMPRE será múltiplo do terceiro). Veja como é verdade:
48*54 = 2.592 e "2.592/72 = 36" <--- Perfeito, pois "2.592" é múltiplo de "72".
48*72 = 3.456 e "3.456/54 = 64" <--- Perfeito, pois "3.456" é múltiplo de "54".
54*72 = 3.888 e "3.888/48= 81" <--- Perfeito, pois "3.888" é múltiplo de "48".
Como você viu aí em cima, o produto entre dois quaisquer números da sequência ("48", "54" e "72") SEMPRE é múltiplo do outro número.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.