Question

Os números (n-4),(2n-1),(5n+8) estão em P.G..Determine os dois possíveis valores da razão.

Answer 1

Olá. 
 Para começar, vamos lembrar que em uma PG, a razão é dada da seguinte forma:
EX:
PG (1, 2, 4, 8, 16, 32, ...)

r = 32/16 = 16/8 = 8/4 = 4/2 = 2/1 = 2

Ou seja, a razão é obtida dividindo um termo da PG pelo seu anterior. E isso vale para qualquer termo, menos o primeiro, porque antes dele não tem nenhum termo. 

Assim, temos a PG ((n-4), (2n-1), (5n+8)) para encontrar a razão, temos que descobrir o valor de "n"

Pelo que vimos lá em cima temos:

r = (5n+8)/(2n-1) = (2n-1)/(n-4)

$\frac{5n+8}{2n-1} = \frac{2n-1}{n-4} \\ \\ (5n+8)(n-4)= (2n-1)^{2} \\ \\ 5 n^{2}-20n+8n-32=4 n^{2} -4n+1 \\ \\ 5 n^{2}-12n-32=4 n^{2} -4n+1 \\ \\ 5 n^{2}-4 n^{2}-12n+4n-32-1=0 \\ \\ n^{2}-8n-33=0$

Temos uma equação do segundo grau:

$n^{2}-8n-33=0 \\ \\ delta= (-8)^{2} -4.1.(-33)=64+132=196 \\ \\ n= \frac{8 +- \sqrt{196} }{2} = \frac{8 +- 14 }{2} \\ \\ n_{1} = \frac{8+14}{2} = \frac{22}{2}=11 \\ \\ n_{2} = \frac{8-14}{2}= \frac{-6}{2}=-3$

Para n = 11 temos:

PG ((n-4), (2n-1), (5n+8))
PG ((11-4), (2.11-1), (5.11+8))
PG (7, 21, 63)

r = 63/21 = 21/7 = 3

Para n = -3

PG ((n-4), (2n-1), (5n+8))
PG ((-3-4), (2.(-3)-1), (5.(-3)+8))
PG (-7, -7, -7)

r = -7/-7 = 1

Portanto, os dois possíveis valores da razão são: 3 e 1