Os números de 1 a 150 foram escritos em sequência sobre os pontos que dividem uma circunferência em 150 partes iguais. Qual é o número que ficou diametralmente oposto ao 33? 1 n 148 149 150 2 (A) 101 (B) 105 (C) 108 (D) 110 (E) 133
Soluções para a tarefa
Vamos là.
(1, 150)
(2, 149)
(3, 148)
(4, 147)
(33, x)
observe que a soma vale 151
33 + x = 151
x = 151 - 33 = 118
O número que ficou diametralmente oposto ao 33 é o 108
Equidistância na circunferência
Resolveremos esse problema pensando no conceito de equidistância. Em uma circunferência temos que verificar qual ponto é equidistante de 33 caminhando no sentido horário e anti-horário.
Se caminharmos um ponto no sentido crescente, encontramos o ponto 34 e no sentido decrescente o ponto 32. Assim por diante:
- distância 1: 32 e 34
- distância 2: 31 e 35
- distância n: 33-n e 33+n para n < 33
repare que se buscarmos o ponto com distância 32 chegamos em 1 e 65, mas se buscarmos o ponto com distância 33 alcançaremos os pontos 150 e 65, pois o próximo ponto antes do 1 seria o 150, saindo do primeiro número e alcançando o último. Dessa forma temos, a partir da distência 33, o seguinte:
- distância 33: 150 e 65
- distância 34: 149 e 66
- distância n: 33-n + 150 e 33+n ou 183 - n e 33 + n para n > 3
Se igualarmos as duas equações, acharemos a distância da equidistância:
183 - n = 33 + n
2n = 150
n = 75
O ponto da equidistância é o 183 - 75 = 33 + 75 = 108
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