Question

Os números da forma
1 + \frac{1}{7n}
se aproximam de 1 a medida que n aumenta. se considerarmos uma vizinhança do 1 da forma
|x-1|\ \textless \ ∝
em que
∝= \frac{3}{10^{4} }
vai existir então um menor número n0 tal que a partir dele os numeros da forma acima ficam todos nessa vizinhança. Qual o valor desse n0?

Answer 1

Num sei man triste ;-;

Answer 2

O valor de $n_0$ para que o limite da sequência $a_n=1+\dfrac{1}{7n}$ permaneça na vizinhança de 1 é $n_0=\dfrac{10^4}{21}$.

Limite de Sequências

Para responder a esta questão vamos utilizar a definição formal de limite de sequências:

Definição:

$\lim_{n \to \infty} a_n =L$, $\forall \varepsilon > 0$, $\exists n_0 > 0$, tal que, se $n > n_0$, então $|a_n-L| < \varepsilon$

Uma sequência numérica pode ser dita convergente se existir o limite $\lim_{n \to \infty} a_n =L$ e divergente se, não existir este limite.

• Exemplo 1: A sequência $a_n=(-1)^n$ é dita divergente, pois para "n" tendendo ao infinito a sequência não se aproxima de nenhum valor.

• Exemplo 2: A sequência $a_n=\dfrac{\ln n}{n}$ é dita convergente, pois para "n" tendendo ao infinito a sequência se aproxima de zero, ou seja, converge para zero.

Na questão queremos determinar o valor de $n_0$, tal que

$\lim_{n \to \infty} \left(1+\dfrac{1}{7n}\right)=1$

Aplicando a definição formal do limite de sequências temos:

$\left|1+\dfrac{1}{7n}-1\right| < \varepsilon \Rightarrow \left|\dfrac{1}{7n}\right| < \varepsilon \Rightarrow \dfrac{1}{7}\cdot \left|\dfrac{1}{n}\right| < \varepsilon \Rightarrow \left|\dfrac{1}{n}\right| < 7\varepsilon \Rightarrow n > \dfrac{1}{7\varepsilon}$

Mas como, $\varepsilon =\dfrac{3}{10^4}$ e $n > n_0$ temos:

$n > \dfrac{1}{7\varepsilon} \Rightarrow n > n_0 \Rightarrow n_0=\dfrac{1}{7\varepsilon} \Rightarrow n_0=\dfrac{1}{7\cdot \dfrac{3}{10^4}} \Rightarrow n_0=\dfrac{10^4}{21}$

Para saber mais sobre Limite de Sequências acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/31308372

#SPJ2