Question

Os números a e b são quadrados de números inteiros. A diferença
a b − é um número primo. Qual dos
números a seguir pode ser o número b?
(A) 100 (B) 144 (C) 256 (D) 900 (E) 10 000

Answer 1

Salve soldado do Canguru

Resposta: D

i^2 - B = Nº Primo

Então se aplicarmos: 31^1 - 900 = 61

61 é um número primo

Answer 2

Utilizando fatoração de diferença de quadrados, temos que o único possível valor de 'b' neste caso é de 900, letra D.

Explicação passo-a-passo:

Então temos dosi números 'a' e 'b' que são quadrados de números inteiros, então vou criar duas incognitas 'A' e 'B' que representam os números que quando elevados ao quadrado viram 'a' e 'b' respectivamente, da forma:

$A^2=a \qquad ; \qquad B^2 = b$

E sabemos também que a diferença de 'a' e 'b' é um número primeiro, então:

$a - b = N_{primo}$

Ou usando nossas incognitas:

$A^2 - B^2 = N_{primo}$

Note agora que dessa forma temos uma diferença de quadrados, e sabemos que diferença de quadrados pode ser fatorado pela multiplicação da diferença dos fatores pela soma dos fatores, da forma:

$(A - B)(A + B) = N_{primo}$

E assim vemos que este número primo em questão é o resultado de uma multiplicação de dois termos, porém sabemos que números primos só podem ser divisiveis por eles mesmos e por 1, ou seja, o menor destes fatores obrigatóriamente deve ser 1, logo:

$A - B  = 1 \quad \rightarrow A = B + 1$

E sabendo a realação de 'A' com 'B', podemos voltar a equação acima:

$(A - B)(A + B) = N_{primo}$

$1\cdot (B + 1 + B) = N_{primo}$

$2B + 1 = N_{primo}$

Agora vamos interpretar estes resultado: Sabemos por ele que 'B' , que é a raíz de 'b', quando multiplicado por 2 e somado com 1 deve ser um número primo, então basta verificarmos pelas alternativas dadas:

• a) $2\sqrt{100}+1=21$
• b) $2\sqrt{144}+1=25$
• c) $2\sqrt{256}+1=33$
• d) $2\sqrt{900}+1=61$
• e) $2\sqrt{10000}+1=201$

E com isso vemos que o único resultado destes acima que é primo é o 61, então o único possível valor de 'b' neste caso é de 900, letra D.

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