Question

Os números -2 e 3 são duas raízes da equação 2x³ - x² + mx + n = o, em que m e n pertencem aos números irracionais. Determine a terceira raiz da equação e os valores de m e n

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

$\sf 2x^3-x^2+mx+n=0$

A soma das raízes dessa equação é:

$\sf S=\dfrac{-b}{a}$

$\sf S=\dfrac{-(-1)}{2}$

$\sf S=\dfrac{1}{2}$

Sendo $\sf \alpha$ a terceira raiz, temos que:

$\sf \alpha+(-2)+3=\dfrac{1}{2}$

$\sf \alpha+1=\dfrac{1}{2}$

$\sf \alpha=\dfrac{1}{2}-1$

$\sf \alpha=\dfrac{-1}{2}$

Assim, essa equação é dada por:

$\sf (x+2)\cdot(x-3)\cdot\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=0$

$\sf (x^2-3x+2x-6)\cdot\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=0$

$\sf (x^2-x-6)\cdot\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=0$

$\sf x^3-x^2-6x+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x}{2}-3=0$

$\sf 2x^3-2x^2-12x+x^2-x-6=0$

$\sf 2x^3-x^2-13x-6=0$

$\sf 2x^3-x^2+mx+n=0$

Logo, $\sf m=-13~e~n=-6$