Question

os numeros 10/x, x-3, x+3 são os 3 primeiros termos de uma P.A, de termos positivos, sendo x diferente de 0. Qual o décimo termo dessa P.A?

Answer 1

Numa $PA$ qualquer, temos:

$a_2-a_1=a_3-a_2=\dots=a_{n}-a_{n-1}=r$

Pelo enunciado, $a_1=\dfrac{10}{x}$, $a_2=x-3$ e $a_3=x+3$.

Assim,

$x-3-\dfrac{10}{x}=(x+3)-(x-3)$

$\dfrac{x^2-3x-10}{x}=x+3-x+3$

$x^2-3x-10=6x$

$x^2-9x-10=0$

$x=\dfrac{-(-9)\pm\sqrt{(-9)^2-4\cdot1\cdot(-10)}}{2\cdot1}=\dfrac{9\pm\sqrt{121}}{2}=\dfrac{9\pm11}{2}$.

Como $x>0$, segue que, $x=\dfrac{9+11}{2}=10$.

Deste modo, $a_1=1$, $a_2=7$ e $a_3=13$.

Além disso, $r=a_2-a_1=7-1=6$. Note que, $a_n=a_1+(n-1)r$.

Assim, $a_{10}=a_1+(10-1)r$. Como $a_1=1$ e $r=6$, temos:

$a_{10}=1+(10-1)\cdot6=1+9\cdot6=1+54=55$.

O décimo termo dessa $PA$ é $55$.