Question

Os números -1 e 1 são duas raízes do polinômio P (x) = cx³ + ax² + bx + 2c. A terceira raiz de P (x) é ...

Answer 1

Se x=-1 é raiz então c.(-1)^3 + a.(-1)^2 + b.(-1) + 2c=0 Portanto -c+a-b+2c=0 a-b+c=0 Como x=1 é raiz então de forma análoga c+a+b+2c=0 a+b+3c=0 Como ambas partes ocorrem concumitantemente, trata-se de um sistema. Se a-b+c=0 e a+b+3c=0 Então a-b+c+a+b+3c=0 Pois 0+0=0 Sendo assim 2a+4c=0 Portanto 2 (a+2c)=0 Logo, a+2c=0 Sendo assim, a=-2c Se a+2c=0 Então (tirando de a+b+3c=0) b+c+a+2c=0 b+c+0=0 b+c=0 b=-c Portanto se pegarmos a primeira equação, temos então: cx^3 -2cx^2 -cx+2c=0 c (x^3 -2x^2 -x +2)=0 Com c diferente de 0 temos que X^3-2x^2-x+2=0 Como x=1 é raíz da equação temos que o polinômio é divisível por (x-1) Portanto P (x)÷(x-1)=x^2-x-2 Portanto a terceira raiz de P (x) é tambem raíz desta nova equação Temos então que x^2-x-2=0 Resolvendo por Bháskara temos que: Delta=9 X1=-1 (Que é a outra raiz dada pelo enunciado) X2=2 Que é a 3a raiz