Question

Os lados de um triangulo retângulo formam uma P.A. crescente.Mostre que a razão dessa P.A. é igual ao raio do circulo inscrito.

Answer 1

sejam os lados do triângulo
cateto = x - r
cateto = x
hipotenusa = x + r  ( por ser o maior lado)

( x + r)² = x² + ( x - r)²
x² +2 rx + r² = x² + x² - 2rx + r² 
x² + 2rx + r² - x² - x² + 2rx - r² = o
-x² + 4rx = 0
-x² = 4rx
x² = 4rx  ( simplificando por x )
x = 4r ****

x - r  = 4r - r = 3r ****  cateto
x = 4r ( cateto )
x + r = 4r + r = 5r ( hipotenusa)
razão  = 5r - 4r = r ***** razão 

P =3r + 4r + 5r = 12r /2 = 6r***
S = ( 3r .4r)/2 = 12r²/2 = 6r² ***

Raio circulo inscrito =  S/P  = 6r²/6r = r ***** raio  >>> Provado