Question

Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética de razão positiva r. DetermineA) as medidas dos lados em função de r;B) a área desse triângulo em função de r;

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Noeor, que a resolução é simples.
Se os lados desse triângulo retângulo estão em PA de razão "r", então poderemos chamar os três lados da seguinte forma:

1º lado (será o menor lado ---> cateto menor): x-r
2º lado (será o lado médio ---> cateto maior): x
3º lado (será o maior lado) ---> hipotenusa): x+r 

Agora vamos "obrigar" ao 3º lado ser a hipotenusa de um triângulo retângulo. Para isso, deveremos aplicar Pitágoras, fazendo com que a hipotenusa ao quadrado seja igual ao quadrado de cada cateto. Assim, deveremos fazer que:

(x+r)² = (x-r)² + x² ----- desenvolvendo, teremos:
x²+2xr+r² = x²-2xr+r² + x² ---- passando todo o 1º termo para o 2º, teremos:
0 = x²-2xr+r² + x² - x² - 2xr - r² ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
0 = x² - 4xr ----- ou, invertendo-se, teremos;
x² - 4xr = 0 ----- vamos colocar "x" em evidência, ficando:
x*(x - 4r) = 0 ----- daqui você conclui que:

ou
x = 0 ---> x' = 0 <--- raiz descartada. "x" não poderá ser zero, pois aí não iríamos ter lados do triângulo.
 
ou
x-4r = 0 ---> x'' = 4r <---- raiz válida.

Assim, como já encontramos que x = 4r, então vamos lá onde denominamos os lados e vamos colocar tudo em função de "r". Note que havíamos denominado tudo assim (agora, no lugar de "x", colocaremos "4r"):

1º lado (será o menor lado --->cateto menor): x-r ----> 4r-r = 3r
2º lado (será o lado médio ---> cateto maior): x ------------> = 4r
3º lado (será o maior lado) ---> hipotenusa): x+r -----> 4r+r = 5r 

Agora vamos responder às duas questões propostas, que são:

a) Determine as medidas dos lados em função de "r". Então, como visto aí em cima, temos que os três lados desse triângulo retângulo, em função de "r" serão:

3r, 4r; 5r  <--- Esta é a resposta para a a questão do item "a".

b) Determine a área desse triângulo retângulo em função de "r".
Veja: num triângulo retângulo, a área (A) é dada pelo produto dos dois catetos, dividido por "2". Assim, como os catetos são: "3r" e "4r", então a área (A) será:

A = 3r*4r/2
A = 12r²/2 --- ou apenas:
A = 6r²  <--- Esta é a resposta para a questão do item "b".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.