Question

Os lados de um triângulo medem 4 cm, 4 cm e 6 cm. Determine as medidas das alturas desse triângulo.
Gabarito: v63/2 cm, v62/2cm e v7 cm

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Marcos, que esta está fácil.
Tem-se que os lados de um triângulo medem: 4cm, 4cm e 6cm.
Pede-se para determinar as medidas das alturas desse triângulo.
Note que o triângulo, ao fazermos um ligeiro esboço dele, teria o seguinte "arremedo" de figura:

...........A
.........../\
4cm../.....\ 4cm
..../............\
/..................\
B   6cm       C

Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Inicialmente, vamos calcular a medida da altura (h₁) em relação à base BC.
Assim, se você traçar a altura, partindo do vértice A até o lado BC (que será a altura em relação ao lado BC, ou, o que é a mesma coisa: h₁ ⊥ BC), ela vai dividir o lado BC em dois segmentos iguais (pois o triângulo é isósceles: tem 2 lados iguais a 4cm). Assim, se a base BC tem 6cm, então cada segmento dividido pela altura vai medir 3cm. E, ao fazer isso, teremos dois triângulos retângulos cuja hipotenusa vai ser um dos lados congruentes (4cm), ficando os catetos sendo a própria altura (h₁) e um dos segmentos de 3cm. Assim, teremos, aplicando Pitágoras:

4² = h₁² + 3²
16 = h₁² + 9
16 - 9 = h₁²
7 = h₁² ---- vamos apenas inverter, ficando:
h₁² = 7
h₁ = ± √(7) ---- como a altura não pode ser negativa, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

h₁ =  √(7) cm <--- Esta é a altura relativa à base BC (ou: h₁ ⊥ BC = √7 cm).

ii) Agora vamos traçar a altura (h₂) em relação ao lado AB. Note que, nesse caso, temos que o lado AB mede 4cm e o lado BC mede 6cm. Assim, se altura é relativa ao lado AB, então estamos partindo do vértice C e descemos uma perpendicular ao lado AB. Como AB = 4cm, então quando a altura for traçada vai formar dois segmentos com as seguintes medidas, que vamos chamá-las assim: "x" e "4-x". Assim, a altura h₂ (que é a que parte do vértice C e é perpendicular ao lado AB) formará dois triângulos retângulos, que terão as seguintes medidas:

- de um lado, teremos o triângulo retângulo de hipotenusa igual a "6" e catetos iguais a "h₂" e "x". Assim, aplicando Pitágoras, teremos;

6² = h₂² + x² ----- ou, desenvolvendo:
36 = h₂² + x², ou, invertendo-se:
h₂² + x² = 36        . (I)

- do outro lado, teremos o triângulo retângulo de hipotenusa igual a "4" e catetos iguais a "h₂" e "4-x)". Assim, aplicando Pitágoras, teremos isto:

4² = h₂² + (4-x)² ----- desenvolvendo, teremos:
16 = h₂² + x²-8x+16 ---- ordenando, teremos:
16 = h₂² + x² - 8x + 16 ----- passando "16" para o 1º membro, temos:
16 - 16 = h₂² + x² - 8x
0 = h₂² + x² - 8x ---- vamos apenas inverter, ficando:
h₂² + x² - 8x = 0       . (II)

Mas já vimos, conforme a expressão (I), que "h₂²+x²" é igual a "36". Então vamos na expressão (II) acima e, no lugar de "h₂²+x²" colocaremos 36. Vamos apenas repetir a expressão (II), que é esta:

h₂² + x² - 8x = 0 ----- fazendo a substituição de "h₂²+x²" por "36", teremos:
36 - 8x = 0
- 8x = - 36 ------- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
8x = 36
x = 36/8 ---- simplificando-se tudo por "4", ficaremos com:
x = 9/2 <--- Este é o valor de "x".

ii) Agora, para encontrar o valor de "h₂" vamos na expressão (I), que é esta:

h₂² + x² = 36 ---- substituindo-se "x" por "9/2", teremos:
h₂² + (9/2)² = 36
h₂² + 81/4 = 36 ---- passando "81/4" para o 2º membro, temos:
h₂² = 36 - 81/4 ---- note que, no 2º membro, o mmc = 4. Assim, utilizando-o apenas no 2º membro, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

h₂² = (4*36 - 1*81)/4
h₂² = (144 - 81)/4
h₂² = (63)/4 --- ou apenas:
h₂² = 63/4
h₂ = ± √(63/4) ---- note que isto é a mesma coisa que:
h₂ = ± √(63)/√(4) ---- como √(4) = 2, teremos:
h = ± √(63) / 2 ---- mas como a medida da altura não é negativa, então ficaremos apenas com a raiz positiva e igual a:

h₂ = √(63)/2 cm  <-- Esta é a altura relativa ao lado AB (ou: h₂ ⊥ AB = √(63)/2 cm) .

iii) Finalmente, agora vamos para a altura "h₃" em relação ao lado AC, o que poderá ser expresso assim: h₃ ⊥ AC.
Note: como o lado AC também tem 4cm, então para calcularmos a altura (h₃) em relação ao lado AC, iremos ter procedimento idêntico ao visto para o cálculo da altura "h₂" em relação ao lado AB, pois o lado AC também tem 4cm.
Logo, não precisaremos nem fazer qualquer cálculo, pois a altura em relação ao lado AC será a mesma encontrada em relação ao lado AB. Logo, iremos ter que:

h₃ = √(63)/2 cm <--- Esta é a altura em relação ao lado AC (ou: h₃ ⊥ AC = √(63)/2 cm).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

Resposta:

bote imagens por favor