Question

Os lados de um triângulo medem 10 cm, 15 cm e 20 cm. Do vértice oposto ao lado de maior medida traçam-se as bissetrizes interna e externa. Calcule a distância entre os pés dessas bissetrizes.

Answer 1

Com base nas informações contidas no enunciado, vamos construir um triângulo escaleno ABC de lados 10 cm, 15 cm e 20 cm, respectivamente opostos aos vértices B, C e A. Seguidamente, traçaremos as bissetrizes interna e externa relativas ao vértice A, que interceptam a reta suporte do maior lado do triângulo nos pontos D e E, respectivamente. Estes dois últimos pontos são os pés das bissetrizes, e o objetivo aqui é calcular a distância entre eles. Uma maneira de encontrar o valor dessa distância é aplicando, no triângulo ABC, dois teoremas importantes da Geometria Plana. O primeiro deles nos garante que a bissetriz de um ângulo interno de um triângulo (bissetriz interna) divide o lado oposto em dois segmentos (aditivos) proporcionais aos lados adjacentes, e é chamado Teorema da Bissetriz Interna. Fazendo uso deste resultado, garantimos a validade da proporção:

$\sf \dfrac{DB}{AB}=\dfrac{DC}{AC}$

Agora, utilizando as informações

$\begin{cases}\sf DB=20-x\\ \sf AB=15 \\ \sf DC=x\\ \sf AC=10\end{cases}$

, podemos escrever:

$\sf \dfrac{20-x}{15}=\dfrac{x}{10}$

O valor de x é a única solução da equação acima, ou seja:

$\sf\qquad~~~\:\, \dfrac{20-x}{15}=\dfrac{x}{10}\\\\\\ \iff\ \ \ \dfrac{20-x}{3}=\dfrac{x}{2}\\\\\\ \iff\ \ \ 3x=2\big(20-x\big)\\\\ \iff\ \ \ 3x=40-2x\\\\ \iff\ \ \ 3x+2x=40\\\\ \iff\ \ \ 5x=40\\\\\ \iff\ \ \ x=\dfrac{40}{5}\\\\ \iff\ \ \: \boxed{\sf x=8}$

O segundo teorema recebe o nome de Teorema da Bissetriz Externa, e nos diz que, se a bissetriz de um ângulo externo de um triângulo (bissetriz externa) intercepta a reta que contém o lado oposto, então ela divide este lado externamente em segmentos (subtrativos) proporcionais aos lados adjacentes. Sendo assim, também é verdade que:

$\sf \dfrac{EB}{AB}=\dfrac{EC}{AC}$

Em seguida, usando

$\begin{cases}\sf EB=y+20\\ \sf AB=15 \\ \sf EC=y\\ \sf AC=10\end{cases}$

, ficaremos com

$\sf \dfrac{y+20}{15}=\dfrac{y}{10}$

, donde extraímos o seguinte valor para y:

$\sf\qquad~~~\:\, \dfrac{y+20}{15}=\dfrac{y}{10}\\\\\\ \iff\ \ \ \dfrac{y+20}{3}=\dfrac{y}{2}\\\\\\ \iff\ \ \ 3y=2\:\!\big(y+20\big)\\\\ \iff\ \ \ 3y=2y+40\\\\ \iff\ \ \ 3y-2y=40\\\\ \iff\ \ \ \boxed{\sf y=40}$

Portanto, a distância entre os pontos D e E vale:

$\large\boxed{\sf x+y=48\ cm}$

Resposta: a distância entre os pés das bissetrizes é de 48 cm.