Question

Os lados de um triangulo estão em PA. O perímetro desse triangulo é 36 cm e a
diferença entre o maior e o menor lado desse triângulo é 6 cm. A altura relativa ao
maior lado desse triângulo está entre:
(com cálculo por favor)
a)6cm e 6,4cm
b)6,4 e 6,9
c)6,9 e 7,4
d)7,4 e 7,8
e)7,8 e 8,1​

Answer 1

Vamos considerar que os lados tenham medidas

$x - r\\ x \\ x + r$

como o perímetro é 36 cm temos

$x - r + x + x + r = 36 \\ 3x = 36 \\ x = \frac{36}{3} \\ x = 12$

assim temos medidas dos lados

$12 - r \\ 12 \\ 12 + r$

como a diferença entre o maior e o menor é igual a 6 temos que

$12 + r - (12 - r) = 6 \\ 12 + r - 12 + r = 6 \\ r + r = 6 \\ 2r = 6 \\ r = 3$

logo os lados do triângulo medem 9, 12 e 15.

agora traçamos uma altura relativa ao lado maior, ou seja, ao lado de 15 cm.

A altura divide o lado maior em duas partes. A projeção ortogonal do nove será chamada de t e a projeção ortogonal de de 12 será 15 - t. Dessa forma, obtemos as seguintes relações:

${h}^{2} + {t}^{2} = 81 \\ {h}^{2} + {(15 - t)}^{2} = 144 \\ {h}^{2} + {t}^{2} -30t + 225 = 144 \\ 81 - 30t + 225 = 144 \\ - 30t + 306 = 144 \\ - 30t = - 162 \\ 30t = 162 \\ t = \frac{162}{30} \\ t = 5.4$

Agora basta substituir o valor de t numa das expressões acima.

${h}^{2} + 29.16 = 81 \\ {h}^{2} = 81 - 29.16 \\ {h}^{2} = 51.84 \\ h = \sqrt{51.84} \\ h = 7.2$

LETRA C.