Question

Os lados de um losango medem 35 cm, e uma das diagonais, 60 cm. De acordo com essas informações, calcule a medida aproximada:
a) de cada um dos ângulos internos
b) da outra diagonal.

Answer 1

Veja a figura anexa para melhor compreensão: (todas as medidas estão em centímetros)

$\text{a)\;\;}$ Pela figura anexa, vemos que as os segmentos $\overline{OB}$ e $\overline{OA}$ medem metade das diagonais do losango:

$\text{med}\left(\overline{OB})=30 \text{ cm}$, que é a metade da diagonal $\overline{BD}$ de $60 \text{ cm}$;
$\text{med}\left(\overline{OA})=\frac{x}{2}$, onde $x$ é a medida da diagonal $\overline{AC}$ que queremos encontrar;
$\text{med}\left(\overline{AB})=35 \text{ cm}$, já que este é um dos lados do losango.

Notamos que o triângulo $AOB$ é retângulo. Sendo $\alpha$ e $\beta$ os ângulos internos do losango, vemos que $\frac{\alpha}{2}$ e $\frac{\beta}{2}$ são os ângulos internos complementares do triângulo $AOB$. Deste triângulo, obtemos as seguintes relações:

$\cos \left(\frac{\beta}{2}\right)=\frac{\text{med}\left(\overline{OB} \right )}{\text{med}\left(\overline{AB} \right )}\\ \\ \cos \left(\frac{\beta}{2}\right)=\frac{30}{35}=\frac{6}{7}\\ \\ \frac{\beta}{2}\right=\arccos \left(\frac{6}{7} \right )\\ \\ \beta=2\times \arccos\left(\frac{6}{7} \right )\approx 62^{\circ}$


$\frac{\alpha}{2}=90^{\circ}-\frac{\beta}{2} \;\;\rightarrow \left(\times 2 \right) \\ \\ \alpha=180^{\circ}-\beta\\ \\ \alpha=180^{\circ}-2\times \arccos\left(\frac{6}{7} \right )\approx 118^{\circ}$

Então, os ângulos internos do losango são $\alpha=118^{\circ}$ e $\beta=62^{\circ}$ (aproximadamente).



$\text{b)\;\;}$ Como o triângulo $AOB$ é retângulo, pelo Teorema de Pitágoras, temos

$\left [ \text{med}\left(\overline{OA}) \right ]^{2}+\left [ \text{med}\left(\overline{OB}) \right ]^{2}=\left [ \text{med}\left(\overline{AB}) \right ]^{2}$

$\left( \frac{x}{2}\right )^{2}+30^{2}=35^{2}\\ \\ \left( \frac{x}{2}\right )^{2}=35^{2}-30^{2}\\ \\ \left( \frac{x}{2}\right )^{2}=1\,225-900\\ \\ \left( \frac{x}{2}\right )^{2}=325\\ \\ \frac{x}{2}=\sqrt{325}=5\sqrt{13}\\ \\ x=2 \times 5\sqrt{13} \Rightarrow x=10\sqrt{13} \approx 36 \text{ cm}$

Logo, a outra diagonal mede $36 \text{ cm}$ (aproximadamente).