Question

Os isótopos radioativos de einstêinio tem meia vida de 276 dias. Se 1 grama está presente em um objeto agora, daqui a t dias a quantidade presente será dada por

$Q(t) = \left(\dfrac{1}{2} \right)^\dfrac{t}{276}$

Assinale a taxa de variação da quantidade Q quando t = 552 dias?

Alternativa 1:
- 0,0006279

Alternativa 2:
- 0,0005289

Alternativa 3:
- 0,0004356

Alternativa 4:
- 0,0003332

Alternativa 5:
- 0,0002211

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{-0.0006279}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

A quantidade restante de um isótopo, após $t$ dias, cuja meia vida é de $276$ dias é dada pela função:

$Q(t)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{t}{276}}$

Buscamos a taxa de variação da quantidade $Q$ quando $t=552$ dias.

A taxa de variação de uma função em um instante $t_0$ é dada pela derivada da função neste instante: $Q'(t_0)$.

Então, diferencie ambos os lados da função em respeito à variável $t$:

$Q'(t)=\left[\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{t}{276}}\right]'$

Para calcularmos esta derivada, lembre-se que:

• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia: $[f(g(x))]'=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada de uma função exponencial é dada por: $(a^x)'=a^x\cdot \ln(a)$.
• A derivada do produto entre uma constante e uma função é dada por: $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a regra da cadeia

$Q'(t)=\left(\dfrac{t}{276}\right)'\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{t}{276}}\right\cdot\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)$

Aplique a regra do produto

$Q'(t)=\dfrac{1}{276}\cdot(t)'\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{t}{276}}\right\cdot\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)$

Aplique a regra da potência

$Q'(t)=\dfrac{1}{276}\cdot1\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{t}{276}}\right\cdot\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)$

Por fim, aplique a propriedade de logaritmos: $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$, satisfeitas as condições de existência.

$Q'(t)=\dfrac{1}{276}\cdot1\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{t}{276}}\right\cdot(\ln(1)-\ln(2))$

Sabendo que $\ln(1)=0$, multiplique os valores

$Q'(t)=-\dfrac{\ln2}{276}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{t}{276}}$

Então, substitua $t_0=552$

$Q'(552)=-\dfrac{\ln2}{276}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{552}{276}}$

Simplifique a fração no expoente

$Q'(552)=-\dfrac{\ln2}{276}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^2$

Sabendo que $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$, temos

$Q'(552)=-\dfrac{\ln2}{276}\cdot\dfrac{1^2}{2^2}$

Calcule as potências e multiplique as frações

$Q'(552)=-\dfrac{\ln2}{276}\cdot\dfrac{1}{4}\\\\\\\\ Q'(552)=-\dfrac{\ln2}{1104}$

Visto que as alternativas estão dadas em números decimais, ao calcularmos uma aproximação para este resultado obtemos:

$Q'(552)\approx-0.0006279$

Esta é a taxa de variação da quantidade deste isótopo neste instante e é a resposta contida na Alternativa 1.

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Temos que:

$\sf y=a^u$

$\sf y'=a^u\cdot ln~(a)\cdot u'$

Assim:

$\sf Q(t)=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{\frac{t}{276}}$

$\sf Q'(t)=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{\frac{t}{276}}\cdot ln~\Big(\dfrac{1}{2}\Big)\cdot\Big(\dfrac{t}{276}\Big)'$

$\sf Q'(t)=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{\frac{t}{276}}\cdot ln~\Big(\dfrac{1}{2}\Big)\cdot\dfrac{1}{276}$

$\sf Q'(t)=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{\frac{t}{276}}\cdot(ln~1-ln~2)\cdot\dfrac{1}{276}$

$\sf Q'(t)=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{\frac{t}{276}}\cdot(0-ln~2)\cdot\dfrac{1}{276}$

$\sf Q'(t)=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{\frac{t}{276}}\cdot(-ln~2)\cdot\dfrac{1}{276}$

$\sf Q'(t)=\dfrac{-ln~2}{276}\cdot\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{\frac{t}{276}}$

Para t = 552 dias:

$\sf Q'(552)=\dfrac{-ln~2}{276}\cdot\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{\frac{552}{276}}$

$\sf Q'(552)=\dfrac{-ln~2}{276}\cdot\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{2}$

$\sf Q'(552)=\dfrac{-ln~2}{276}\cdot\dfrac{1}{4}$

$\sf Q'(552)=\dfrac{-ln~2}{1104}$

$\sf Q'(552)=\dfrac{-0,6932}{1104}$

$\sf \red{Q'(552)=-0,0006279}$

Alternativa 1: -0,0006279