Question

Os grãos de areia das praias da Califórnia são aproximadamente esféricos, com raio de 50 µm, e
são feitos de dióxido de silício, que tem massa específica de 2600 kg/m3
. Que massa de grãos de areia
possui uma área superficial total (soma das áreas de todas as esferas) igual à área da superfície de um
cubo com 1,00 m de aresta?

Answer 1

Resposta:

$m = 2,6 \times 10^{-1} Kg$ ou $m = 260g$

Explicação:

A resolução possui vários passos, espero que tenha ficado claro.

• Primeiro passo que pode ser feito, é calcular a área das faces de um cubo de 1 m de aresta. A área de cada face será aresta X aresta, o que resultará em 1 m² cada face. Como um cubo possui 6 faces, a área da superfície de um cubo será de 6 m².

• Depois, pode-se calcular a área de uma esfera, que é dada pela expressão matemática $A = 4 \pi R^{2}$. O raio da esfera é de $50 \mu m = 50 \times 10^{-6} m$ e adotando $\pi = 3$, temos:

$A = 4 \times 3 \times (50 \times 10^{-6})^{2}$

$A = 12\times 2500 \times 10^{-12}$

$A = 30000 \times 10^{-12}$

$A = 3 \times 10^{-8} m^{2}$

• E agora para saber quantas esferas são necessárias para se ter uma área equivalente, basta dividir a área da superfície do cubo, pela área de uma esfera:

$Qtd_{esferas} = \frac{6}{3 \times 10^{-8}}$

$Qtd_{esferas} = 2 \times 10^{8}$

• O volume de uma esfera é:

$V = \frac{4}{3} \times \pi R^{3}$

$V = \frac{4}{3} \times 3 (50 \times 10^{-6})^{3}$

$V = 4 \times 125000 \times 10^{-18}$

$V = 500000 \times 10^{-18}$

$V = 5 \times 10^{-13} m^{3}$

• Este é o volume de uma esfera, agora é só multiplicar pela quantidade total de esferas para achar o volume total e partir para o último passo:

$V_{total} = V \times Qtd_{esferas}$

$V_{total} = 5 \times 10^{-13} \times 2 \times 10^{8}$

$V_{total} = 10 \times 10^{-5}$

$V_{total} = 10^{-4} m^{3}$

• A massa específica ($\mu$) é dada pela expressão $\mu = \frac{m}{V}$, onde $m$ é massa e $V$ é volume. Logo:

$2600 = \frac{m}{10^{-4}}$

$m = 2600 \times 10^{-4} = 0,26$

$m = 2,6 \times 10^{-1} Kg$ ou $m = 260 g$