Os funcionários de uma companhia de energia elétrica irão demarcar uma circunferência ao redor de uma torre de transmissão para que sejam fixados alguns ganchos sobre ela, e posteriormente colocados ganchos no topo da torre. De acordo com o projeto,os estais devem ter 57,7 m de comprimento cada e formar com a horizontal um ângulo de 60°.
a) A que distancia do centro da base da torre, aproximadamente, devem ser fixados os ganchos para a colocação dos estais?
b) Qual é a altura aproximada da torre de transmissão?
c) Calcule, aproximadamente, a área interna à circunferência à ser demarcada pelos funcionários.
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A situação descrita no enunciado pode ser representada por um triângulo retângulo, conforme a figura em anexo.
Nela, temos:
- OA é a torre, e cateto de um triângulo retângulo, oposto ao ângulo de 60º que os estais forma com a horizontal.
- OB é o raio da circunferência demarcada pelos funcionários, e cateto adjacente ao ângulo de 60º.
- AB representa os estais, que medem 57,7 m e formam o ângulo de 60º com a horizontal.
Assim, podemos obter as respostas aos itens da questão resolvendo o triângulo retângulo OAB:
a) A distância do centro da base da torre até o ponto de fixação dos ganchos para a colocação dos estais é o segmento OB.
Então, a função trigonométrica cosseno nos fornece este valor, pois:
cos 60º = cateto adjacente ÷ hipotenusa
cos 60º = OB ÷ AB
0,5 = OB ÷ 57,7 m
OB = 0,5 × 57,7 m
OB = 28,85 m
R.: A distância do centro da base da torre até o ponto de fixação dos ganchos é de 28,85 m
b) A altura da torre de transmissão é o cateto OA, oposto ao ângulo de 60º. Então, a função trigonométrica seno nos dá a solução, pois:
sen 60º = cateto oposto ÷ hipotenusa
sen 60º = OA ÷ AB
0,866 = OA ÷ 57,7 m
OA = 0,866 × 57,7 m
OA = 49,97 m
R.: A altura da torre é aproximadamente 49,97 m
c) A área (A) interna da circunferência formada pelos ganchos pode ser calculada, pois conhecemos o seu raio, que é o segmento OB (r), calculado no item a, e sabemos que:
A = π × r²
A = 3,14 × 28,85²
A = 3,14 × 832,3225
A = 2.613,49 m²
R.: A área interna à circunferência a ser demarcada pelos funcionários é de, aproximadamente, 2.613,49 m²
Nela, temos:
- OA é a torre, e cateto de um triângulo retângulo, oposto ao ângulo de 60º que os estais forma com a horizontal.
- OB é o raio da circunferência demarcada pelos funcionários, e cateto adjacente ao ângulo de 60º.
- AB representa os estais, que medem 57,7 m e formam o ângulo de 60º com a horizontal.
Assim, podemos obter as respostas aos itens da questão resolvendo o triângulo retângulo OAB:
a) A distância do centro da base da torre até o ponto de fixação dos ganchos para a colocação dos estais é o segmento OB.
Então, a função trigonométrica cosseno nos fornece este valor, pois:
cos 60º = cateto adjacente ÷ hipotenusa
cos 60º = OB ÷ AB
0,5 = OB ÷ 57,7 m
OB = 0,5 × 57,7 m
OB = 28,85 m
R.: A distância do centro da base da torre até o ponto de fixação dos ganchos é de 28,85 m
b) A altura da torre de transmissão é o cateto OA, oposto ao ângulo de 60º. Então, a função trigonométrica seno nos dá a solução, pois:
sen 60º = cateto oposto ÷ hipotenusa
sen 60º = OA ÷ AB
0,866 = OA ÷ 57,7 m
OA = 0,866 × 57,7 m
OA = 49,97 m
R.: A altura da torre é aproximadamente 49,97 m
c) A área (A) interna da circunferência formada pelos ganchos pode ser calculada, pois conhecemos o seu raio, que é o segmento OB (r), calculado no item a, e sabemos que:
A = π × r²
A = 3,14 × 28,85²
A = 3,14 × 832,3225
A = 2.613,49 m²
R.: A área interna à circunferência a ser demarcada pelos funcionários é de, aproximadamente, 2.613,49 m²
Anexos:
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