Question

Os estudiosos das obras de Isaac Newton julgam que ele foi a inteligência suprema da raça humana que produziu o binômio da forma $(x+a)^{n}$, o qual é denominado, em sua homenagem, binômio de Newton. No desenvolvimento de $\sqrt{2}+x) ^{6}$ segundo as potencias decrescentes de x, obtenha o coeficiente do termo central.

Answer 1

Termo central ou termo médio, fica
a=raiz(2)
b=x
n=6
Termo central será o T4
Então (n=3)
T(3+1) = 6!/3!(6-3)!*(raiz(2)^(6-3)*x^3
6*5*4/3*2*raiz(3)*x^3
T4=20raiz(2)^3*x^3 (resposta)

Answer 2

Fórmula do termo geral de um Binômio de Newton: $(a+b)^{n}$


$T _{p}_{+}_{1} = \left[\begin{array}{ccc}n\\p\\\end{array}\right] . \ a^{n - p}\ . \ b^{p}$

Onde:

$\left[\begin{array}{ccc}n\\p\\\end{array}\right] = C_{n, p} = \frac{n!}{p!(n - p)!}$


É chamado de Número Binomial.

E $C_{n, p}$ é conhecido como Número Combinatório.


No exercício, pede-se o termo central.

O binômio acima citado terá 7 termos, pois n = 6, onde n é o expoente que está elevando $( \sqrt{2} + x)$.

Então:

$T_{1} \ T_{2} \ T_{3} \ T_{4} \ T_{5} \ T_{6} \ T_{7}$

$T_{4}$ é o termo.


Usando a fórmula do termo geral:

Onde:

$a = \sqrt{2}$
$b = x$
$n = 6$

Como queremos o termo central ($T_{4}$), façamos p = 3 na fórmula:


$T_{3}_{+}_{1} = \left[\begin{array}{ccc}6\\3\\\end{array}\right] . \ (\sqrt{2})^{6 - 3}\ . \ x^{3}$


$T_{4} = C_{6, 3} \ . \ (\sqrt{2})^{6 - 3}\ . \ x^{3}$


$T_{4} = \frac{6!}{3!(6 - 3)!} \ . \ (\sqrt{2})^{6 - 3}\ . \ x^{3}$


$T_{4} = \frac{6.5.4.3!}{3!3.2.1} \ . \ (\sqrt{2})^{3}\ . \ x^{3}$


Eliminando o 3! de cima com 3! de baixo:


$T_{4} = \frac{6.5.4}{3.2.1} \ . \ (\sqrt{2})^{3}\ . \ x^{3}$


Simplificando o 6 com o 3 e o 4 com o 2, na fração:


$T_{4} = 2 \ . \ 5 \ . \ 2 \ . \ (\sqrt{2})^{3}\ . \ x^{3}$

$T_{4} = 20 \ . \ (\sqrt{2})^{3}\ . \ x^{3}$

$T_{4} = 20(\sqrt{2})^{3}x^{3}$


Portanto, o coeficiente do termo central deste binômio é 20.