Os elementos do espaço vetorial V são chamados de vetores, independentemente de sua natureza, por meio das operações de adição entre vetores e multiplicação de vetor por escalar, obedecendo as propriedades a seguir.
Propriedades:
( u + v) + w = u + ( v + w)
u + v = v + u
Existe 0 Є V tal que u + 0 = u. (0 é chamado vetor nulo.)
Existe u Є V tal que u + ( -u) = 0.
a( u + v) = au + av
(a + b)v = av + bv
(ab)v = a(bv)
1u = u
Lembrando que para somar dois vetores, somam-se as correspondentes coordenadas, e ao multiplicar um número escalar por um vetor fazemos a distributividade.
A partir dessas informações verifique os oito axiomas(propriedades) citados e conclua se o espaço V= IR^3 = {(x, y, 0)/ x, y e z Є IR} vetorial ou não vetorial..
Observação:
Os vetores serão criados pelo aluno dentro da informação citada. E a questão deverá apresentar a resolução para comprovar a veracidade das propriedades.
-QUESTÃO ORIGINAL EM ANEXO:
Anexos:
Soluções para a tarefa
Respondido por
12
Considere o seguinte subconjunto do
Observe que todos os elementos de V têm a terceira coordenada nula.
=====
Sejam elementos de V, onde
•
•
•
e escalares.
Vamos verificar cada um dos oito axiomas para os elementos de V
1.
e como a adição é associativa em a expressão acima fica
2.
e como a adição é comutativa em a expressão acima fica
3. pois tem a 3ª coordenada nula. Aqui, verifica-se que
pois o número zero é o elemento neutro da adição em
4. Verificamos de imediato que
e também
pois cada coordenada somada com o seu oposto aditivo resulta em zero.
5.
onde ao operar o escalar com cada uma das coordenadas, usamos a distributividade da multiplicação (à direita) em relação à adição em
6.
onde ao operar os escalares com cada uma das coordenadas do vetor, usamos a distributividade da multiplicação (à esquerda) em relação à adição em
7.
e como a multiplicação é associativa em a expressão acima fica
8.
pois 1 é o elemento neutro na multiplicação em
Assim, concluímos que V é um espaço vetorial, pois todos os elementos de V satisfazem as oito propriedades acima.
Bons estudos! :-)
073841:
Obrigado amigo!
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